至十届中国数学奥林匹克竞赛试题含答案.docVIP

第七至十九届中国数学奥林匹克竞赛试题 第七届中国数学奥林匹克 (1992年) 1. 设方程xn+an-1xn-1+an-2xn-2+....+a1x+a0=0的系数都是实数，且适合条件0a0≦a1≦a2≦....≦an-1≦1。已知λ为方程的复数根且适合条件|λ|1，试证：λn+1=1。 2. 设x1, x2, ... , xn为非负实数，记 xn+1= x1，a=min{x1, x2, ... , xn}，试证： n Σ i=1 1+xi_　　 1+xi+1 ≦n+ 　 1　 (1+a)2 n Σ i=1 (xi-a)2 ， 3. 且等式成立当且仅当 x1 =x2= ...　 =xn。 4. 在平面上划上一个9x9的方格表，在这上小方格的每一格中都任意填入+1或-1。下面一种改变填入数字的方式称为一次变动；对于任意一个小方格有一条公共边的所有小方格(不包含此格本身)中的数作连乘积，于是每取一个格，就算出一个数，在所有小格都取遍后，再将这些算出的数放入相应的小方格中。试问是否总可以经过有限次变动，使得所有方小方格中的数都变为1？ 5. 凸四边形内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，ΔABP与ΔCDP的外接圆相交于P和另一点Q，且O、P、Q三点两两不重合。试证∠OQP=90。 6. 在有8个顶点的简单图中，没有四边形的图的边数的是大值是多少？ 7. 已知整数序列{a1, a2, ...... }满足条件： 1. an+1=3an-3an-1+an-2，n=2, 3, .....。 2. 2a1= a0+a2-2。 3. 对任意的自然数m，在序列{a1, a2, ...... }中必有相继的m项ak, ak+1, ... , ak+m-1都为完全平方数。 试证：序列{a1, a2, ...... }的所有项都是完全平方数。 第八届中国数学奥林匹克 (1993年) 1. 设n是奇数，试证明存在2n个整数a1, a2, ... , an；b1, b2, ... , bn，使得对于任意一个整数k，0kn，下列3n个数ai+ai，ai+bi，bi+ bi+k其中i=1, 2, ..., n，=, 0 jn)被3n除时余数互不相同。 2. 给定自然数k及实数a0，在下列条件k1+ k2+ ...　 +kn=k，ki为自然数其中1≦r≦k下，求ak1+ ak2+ ... + akr的最大值。 3. 设圆K和K1同心，它们的半径分别为R和R1，R1R。四边形ABCD内接于圆K，四边形A1B1C1D1内接于圆K1，点A1、B1、C1、D1分别在射线CD、DA、AB、BC上，求证：SA1B1C1D1 /SABCD≧ R12/R2。 4. 给定集合S={z1, z2, ... , z1993}，其中z1, z2, ... , z1993是非零复数(可看作平面试的非零向量)。求证可以把S中的元素分成若干组，使得 i. S中每个元素属于且仅属于其中一组； ii. 每一组中任一复数与该组所有复数之和的夹角不超过90。； iii. 将任意两组中复数分别求和，求得和数之间的夹角大于90。。 5. 10人到书店买书，已知 i. 每人都买了三种书； ii. 任何两人所买的书，都至少有一种相同。 问购买人数最多的一种书最(至)少有几人购买？说明理由。 6. 设函数f：(0, +∞)→(0, +∞)满足以下条件：对于任意正实数x、y，有f(xy)≦f(x)f(y)。试证：对任意的正实数x及自然数n，有f(xn)≦f(x)f(x2)1/2...f(x)1/n。 第九届中国数学奥林匹克 (1994年) 1. 设ABCD是一个梯形(AB//CD)，E是线段AB试一点，F是线段CD上一点，线段CE与BF相交于点H，线段ED与AF相交于点G，求证：SEHFG≦SABCD/4。如果ABCD是一个任意的凸圆边形，同样结论是否成立？请说明理由。 2. n(n≧4)个盘子里放有总数不少于4的糖块，从任意的两个盘子各取一块糖，放入另一个盘子中，称为一次操作，问能可经过有限次操作，将所有的糖块集中列一个盘子里去？证明你的结论。 3. 求适合以下条件的所有函数f：[0, +∞)→[0, +∞)， i. f(2x)≦2(x+1)； ii. f(x+1) = [ f(x)2 -1]/x。 4. 已知f(z)=C0zn+C1zn-1+C2zn-2+....+Cn-1z+Cn是一个n次复系数多项式，求证：一定存在一个复数z0，|z0|≦1，满足 |f(z0)|≧|C0|+|Cn|。 5. 对任何自然数n，求证：， 其中0C0=1，[(n-k)/2]表示(n-k)/2的整数部份。 6. 设M为平面试坐标为(Px1994,7Px19