般课程函数的微分.docVIP

§1-3 微分公式 (甲)基本函數的微分公式(1)dxndx=nxn?1，n?N 。 (2)。 (3)dcdx=0，其中c為常數。(4)(sinx)/=cosx (5)(cosx)/=?sinx另一種表示：? (xn)/=nxn?1 ? =1n ? (c)/=0證明：(2)設a為f(x)=定義域中的任意點， 則f /(a)=f(x)?f(a)x?a == ==1n()=1n ()(4)設a為任意實數，f(x)=sinx f(x)?f(a)x?a= sinx?sinax?a =  計算f /(a)= f(x)?f(a)x?a=()=cosa。(1)(3)(5)自證(乙)導數的四則運算(1)f(x)與g(x)為可微分的函數。f(x)+g(x)為可微分的函數。 且ddx(f(x)+g(x))= ddx(f(x))+ ddx(g(x))成立。  另一種表示：(f(x)+g(x))/=f /(x)+g/(x) 證明：令h(x)=f(x)+g(x)，設a為h(x)定義域中的任一點 h/(a)= h(x)?h(a)x?a = =(f(x)?f(a)x?a + g(x)?g(a)x?a)=(f(x)?f(a)x?a)+(g(x)?g(a)x?a) =f /(a)+g/(a)例：求？推論：dxd(f1(x)+f2(x)+...+fn(x)) = (2)設f(x)為可微分的函數。cf(x)為可微分的函數。 且ddx(cf(x))=cdf(x)dx，特別c= ?1時，ddx(?f(x))=?df(x)dx。 (3)，另一種表示：(f(x)?g(x))/=f /(x)?g/(x)(4) ddx(c1f1(x)+c2f2(x)+...+cnfn(x))= c1ddx(f1(x))+c2ddx(f2(x))+...+cnddx(fn(x)) 例如：(1)ddx (anxn+an?1xn?1+...+a1x+a0) (2)(3x5?2x3+4)/ =？ (5)f(x)，g(x)為可微分的函數。f(x)g(x)為可微分的函數。 且 ddx(f(x)?g(x))= ddx(f(x))?g(x)+f(x)? ddx(g(x)) 另一種表示：(f(x)?g(x))/=f /(x)?g(x)+f(x)?g/(x) 證明：例如：試求 下面我們要推導例2的一般情形：(a)=(b)(逐次輪流微分)(c)如果，則可得 例如：試求的導數。 [例題1] 證明。 (6)若f(x)，g(x)在x=a可微分，且， 則。 因此可得： 若f(x)=1，則(1g(x))/= 例如：試求的導函數。例如：求(1x2+x+1)/=？例如：設為負有理數，證明。結論：若設r為有理數，則。 [例題2] 求下列各函數的導函數：(1) (x2+2x)(x2+3x+2) (2) (x?2)3(x2?1) (3)(x2+x+1)(4x3+x?4)(x+3)(3)3x3+2x+1 (4)(x+1)2(x?1)3Ans：(1)4x3+15x2+16x+4 (2)(x?2)2(5x2?4x?3)  (3)(2x+1)(4x3+x?4)(x+3)+(x2+x+1)(12x2+1)(x+3)+ (x2+x+1)(4x3+x?4) (4)?3(3x2+2)(x3+2x+1)2 (5)?(x+1)(x+5)(x?1)4 [例題3] 請利用(sinx)/=cosx，(cosx)/=?sinx的結果證明：(tanx)/=sec2x，(secx)/=secx?tanx (練習1.) 試求下列的導函數：(1)x3?6x2+7x?11 (2)(x3+3x)2(2x+1) (3) (x+1)(2x2+2)(3x2+x+1) (4)(2x3+x+1)5Ans：(1)3x2?12x+7 (2)2(x3+3x)(3x2+3)(2x+1)+2(x3+3x)  (3) (2x2+2)(3x2+x+1)+(x+1)?(4x)?(3x2+x+1)+ (x+1)(2x2+2)?(6x+1) (4) 5(2x3+x+1)4?(6x2+1) (練習2.) 求下列各函數的導函數。(1)f(x)=x3+x+12x2+x+3 (2)f(x)= 3xx2+3x+1 (3)f(x)= 14x3+3x2+2x+1 (4)f(x)=1x3+2x+1Ans：(1)2x4+2x3+7x2?4x+2(2x2+x+3)2 (2)?3x