节差分方程.docVIP

微积分教学设计 教学札记 教学对象：财经类，管理类等专业 教学内容：差分方程概念引入、差分方程的定义及差分方程的阶、差分方程的解、线性差分方程及其解的结构 教学目的：理解差分方程及差分方程解的概念 教学方法：利用多媒体及黑板相结合进行教学 教学重点：对两个差分方程的定义的理解 教学难点：线性差分方程的定义及其解的结构 教学过程 1. 差分方程概念的引入（引例） 例1 已知函数在时刻一阶差分为，据一阶差分的定义有关系式 例2 某客户在农行开了一个账户，银行按每年付给的利息。假设该客户既不加进存款也不取钱，若用表示年后的存款余额，则紧挨着的两年的存款余额之间的关系为 2 差分方程的定义及差分方程的阶 定义1：含有自变量，未知函数以及未知函数的差分、、…的函数方程称为常差分方程，简称为差分方程，也简称为方程。出现在差分方程中的未知函数的差分的最高阶数，称为该差分方程的阶。 阶差分方程的一般形式为其中为自变量，为未知函数；是的已知函数关系式，且一定要出现，而等可以不出现。 注：如果方程中的未知函数是多元函数（未知函数的差分为偏差分），则称该方称为偏差分方程。 定义2：含有自变量和未知函数的两个或两个以上的函数值 、、……的函数方程称为差分方程，简称为方程。这时，称方程中时间脚标的最大差为该差分方程的阶。 按此定义，阶差分方程的一般形式为 （*） 其中为自变量，为未知函数；是的已知函数关系式，且与一定要出现，而等可以不出现。 注：关于差分方程及其阶数的上述两种定义不是完全等价的。 教学心得 3 差分方程的解 同微分方程一样，在实际问题中还需找出满足差分方程的函数（解差分方程），即找出这样的函数，将其带入方程中能使该方程成为恒等式，这个函数就称为该方程的解。 一般地，如果函数满足方程（*），即 （） 则称函数为方程（*）的解。 如果方程（*）的解中含有（与方程的阶数相同）个相互独立的任意常数，即 （为个相互独立的任意常数） 这样的解就称为方程（*）的通解。在通解中，当任意常数取为确定的值而得到的相应的解，称为方程（*）的一个特解。 由通解确定差分方程的具有某特点的特解，需要给出确定此特解应满足的附加条件，称为方程的初始条件 4 线性差分方程及其解的结构 ? 线性差分方程 若（*）左端函数为的线性函数，则称此方程为阶线性（差分）方程。一般形式为 （1） 其中和均为自变量的已知函数，且不恒等于零。 如果，称（1）的相应方程 （2） 为阶齐次线性差分方程，简称为齐次线性差分方程。如果不恒等于零，称方程（1）为阶非齐次线性差分方程，简称为非齐次线性差分方程。并且通常称方程（2）为方程（1）的对应齐次方程。 如果为常数，则有方程 （3） （4） 称方程（3）为阶常系数非齐次线性差分方程，方程（4）为阶常系数齐次线性差分方程。 ? 齐次线性差分方程的通解结构 定理8.2.1 阶齐次线性差分方程（2）一定存在个线性无关的特解. 定理8.2.2（叠加原理）如果是齐次线性差分方程（2）的个解，则它们的线性组合 仍是差分方程（2）的解，其中为个任意常数。 定理8.2.3（通解结构定理）如果是齐次线性差分方程（2）的个线性无关解，则差分方程（2）的通解为 其中为个任意常数。 教学札记 教学心得 ? 非齐次线性差分方程的通解结构 性质1 如果是非齐次差分方程（1）的解，而是其对应齐次差分方程（2）的解，则也是方程（1）的解。 性质2 如果与为非齐次差分方程（1）的解，则它们的差为对应齐次差分方程（2）的解。 定理8.2.4 如果是差分方程（1）的一个特解，是其对应齐次差分方程（2）的通解，则 就是差分方程（1）的通解。 5 课后作业 教学札记 教学心得