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第三节　微分方程模型 　　本节介绍确定性动态系统的微分方程建模。首先回顾物理领域的微分方程模型，然后介绍今非物理领域的微分方程模型。　　一、徽分方程应用举例　　人们对于微分方程的研究，早在十六七世纪微积分建立的时候就已经开始了，在17世纪和18世纪初得到了迅速的发展，成为研究自然现象的有力的工具。早期的研究与几何及力的研究关系密切。在17、18世纪，人们借助于微分方程，在力学、天文学、物理学等领域中，取得了重要的成就。　　在一些应用问题中， 往往不能直接找出所需要的函数关系。 但是，可以根据问题所提供的线索，列出含有待定函数及其导数的关系式，称这样的关系式为微分方程模型。给出微分方程模型之后，对它进行研究，找出未知函数这一过程称为解微分方程。　　下面给出的几个问题都是与时间t有关。对于一个依赖于时间t的量y的情况， 建立一个关于，y与t的关系式， 它在任何时刻均成立。对这个方程积分， 便得到一个只含有y和t而不含的新方程。新方程中含有积分常数， 并且对于任何特定的t仍然成立。然后，利用问题中的一些特定信息，确定这些积分常数，于是，得函数。对于任何确定的t0，都可以算出。　　一般来说，求解一个应用问题时，可以按照如下步骤：　　（1）把用语言叙述的情况化为文字方程；　　（2）给出问题所涉及的原理或物理定律；　　（3）列出微分方程；　　（4）列出该微分方程的初始条件或其他条件；　　（5）求解微分方程；　　（6）确定微分方程中的参数；　　（7）求出问题的答案。　　下面，通过几个具体的例子来说明。　　[例8.3.1] 高为1m的半球形容器， 其底部有横截面积为1cm2的小孔，水从小孔流出（见图8.3.1）， 开始时容器内盛满了水，求水面高度变化规律及水流完所需时间（由力学知识，若水从孔口流出的流量为Q，则，其中V为通过小孔水的体积，S为小孔的面积）。 图8.3.1 　　解：因为S＝1cm2，故 　　另一方面，设在时间间隔内，水面高度由h降至则有　　其中r为时刻t 的水面半径。又因　　　　　　　　　　故 　　比较（8.3.1）与（8.3.2）式，有　　　　　　　 　　此为未知函数h(t)应满足的微分方程。又由于开始时容器内水是满的，故得初始条件　　　　　　　　　　 　　式（8.3.3）是变量可分离方程，变形得　　　　　　　　　　 　　两边积分得 　　代入初始条件（8.3.4），可算出 　　则小孔在流水的过程中，水面高度与时间的关系为　　　　　　　　　 　　将h=0，g=980代入上式，得t=10677.2秒，即经过10677.2秒之后水流完。 　　[例8.3.2] 一个离地面很高的物体，受地球引力的作用由静止 开始落向地面，求它落到地面时的速度和所需的时间（空气阻力忽略不计）。　　解：取连接地球中心与该物体的直线为y轴， 其方向铅直向上，地球中心为原点，如图8.3.2所示。 图8.3.2 地球引力示意图 　　设物体质量为m， 物体与地球中心距离为l，地球半径为R，为t时刻物体所在的位置。于是，根据万有引力定律：　　　　　　　　　 　　其中M为地球的质量，k为引力常数。若设为速度，则， 且当y=R时，（负号是由于物体的加速度方向与y轴正向相反），故，于是式（8.3.5）可化为　　　　　　　　　　 　　将代入式（8.3.6），得可分离变量方程　　　　　　　　　　 　　解该方程，并利用初始条件，得　　　　　　　 　　 　　令y=R，即可求出物体到达地面时的速度 　　再由式（8.3.7），有 　　即 　　解之，并由初始条件，得　　　　　　　　　 　　令y=R，便得物体到地面所需时间为：　　　　　　　　　 　　[例8.3.3] 溶液混合问题　　设有一容器装有某种浓度的溶液，以流量v1注入浓度为c1的同样溶液，假定溶液立即被搅匀，并以v2的流量流出这种混合后的溶液，试建立容器中浓度与时间关系的数学模型。　　设容器中溶液溶质的质量为， 原来的初始质量为，时溶液的体积为。　　在的时间间隔内， 容器内溶质的改变量等于流入溶质的数量减去流出溶质的数量，即　　　　　 　　　　 　　其中c1为输入溶液的浓度，c2为t时刻容器中溶液的浓度　　　　　　　　　　 　　用除式（8.3.8）两端，并令得　　　　　　　　　　 　　这就是混合溶液的数学模型。该模型不仅适用于液体，也适用于气体、固体。 　　二、医学问题　　医学是研究疾病防治的科学，它涉及到疾病的传播与预防、疾病的诊断与预防等各个方面， 由于任何疾病的发生、 发展和结局，除诱发疾病的外部条件外，主要取决于人体本身的状态和防御功能的