苏州大学高等代数真题.docVIP

2000年真题 1．（14分）设f (x),g (x),h (x)都是数域P上的一元多项式，并且满足： （1） （2） 证明：能整除。 2．（14分）设A是nr的矩阵，并且秩（A）= r，B，C是rm矩阵，并且AB=AC，证明：B=C。 3（15分）求矩阵的最大的特征值，并且求A的属于的特征子空间的一组基。 ４(14分)设． ５(14分)设A,B都是实数域R上的矩阵,证明:AB,BA的特征多项式相等． 证明：要证明AB,BA的特征多项式相等，只需证明： ６．(14分)设A是实对称矩阵,证明：是一个正定矩阵． 证明：A是实对称矩阵，则Ａ的特征值均为实数． ７．(15分)设A是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换,设但是．证明：是Ｖ的一组基．并且求线性变换Ａ在此基下的矩阵，以及Ａ的核的维数． 2000年真题答案 1、证明： （3） 将（3）带入（1）中，得到： ． 注：本题也可以把g,h作为未知量对线性方程求解，用克莱姆法则导出结果。 2、证明： ，即方程． 3、解：， 当时，求出线性无关的特征向量为， 则是的特征子空间的一组基． 4、解：不妨设 则矩阵对应的特征值为： 故 5、利用构造法，设，令， ，两边取行列式得 ．（１） ，两边取行列式得 ．（２） 由（１），（２）两式得＝ ．（３） 上述等式是假设了，但是（３）式两边均为的n次多项式，有无穷多个值使它们成立（），从而一定是恒等式． 注：此题可扩展为Ａ是矩阵，Ｂ是矩阵，ＡＢ，ＢＡ的特征多项式有如下关系：，这个等式也称为薛尔佛斯特（Sylvester）公式． 6、设为Ａ的任意特征值，则的特征值为． 故是一个正定矩阵． 7、证明：令．（１） 用左乘（１）式两边，得到． 由于，，带入（１）得．（２） 再用左乘（２）式两端，可得． 这样继续下去，可得到． 线性无关． ＝． Ａ在此基下的矩阵为， 可见,, 即A的核的维数为1． 2002年真题 1．（15分）设，都是矩阵。解矩阵方程。 2．（20分）设，是否相似于对角矩阵？如果相似于对角矩阵，求可逆矩阵，使得是一个对角矩阵。 3．（10分）设都是非负整数。设。证明：整除。 4．（10分）设，都是矩阵，是矩阵，并且的秩是。证明：如果，则。 5．（10分）设是矩阵，并且是可逆的。证明：如果与的所有的元素都是整数，则的行列式是或。 6．（10分）设是反对称矩阵，证明：是半正定的。 7．（15分）设是矩阵。如果，并且的秩是，是否相似于一个对角矩阵？如果是，求这个对角矩阵。 8．（10分）设是有理数域上的线性空间，的维数是，与是的线性变换。其中可对角化，并且。证明：存在正整数，使得是零变换。 2004年真题 2004年真题答案 2005年真题 1、（20分）设A,B均为n阶方阵,A中的所有元素均为1,B中的除元素为1外,其余元素均为0.问A,B是否等价?是否合同?是否相似?为什么? 2、（20分）设A=。v是的A最大的特征值。求A的属于v的特征子空间的基。 3、（20分）设f（x）是一个整系数多项式。证明：如果存在一个偶数m和一个奇数n使得f（m）和f（n）都是奇数，则f（x）没有整数根。 4、（20分）设A是一个2n×2n的矩阵。证明：如果对于任意的2n×2矩阵B，矩阵方程AX=B都有解，则A是可逆的。 5、（20分）证明实系数线性方程组AX=B有解的充要条件是用它的常数项依次构成的列向量B与它所对应的齐次线性方程组AX=0的解空间正交。 6、（20分）设A，B是n×n实对称矩阵，且A+B=E,E为单位矩阵。证明下列结论等价： （1）AB=O,O为零矩阵（2）秩(A)+秩(B)=n 7、（20分）设V是复数域上的n维线性空间，q，p是V上的两个可对角化的线性变换，且qp=pq。证明： （1）如果k是q的特征值，那么V（k）是的不变子空间。（2）存在一组基使得q、p在这组基下的矩阵都是对角矩阵。 8、（10分）设A，B，C分别是m×m,n×n,m×n矩阵（mn）,且AC=CB,C的秩为r. 证明: A和B至少有r个相同的特征值。注意：7题中V(k)在原题中k为V的下标。 2006年真题 一，用正交线性替换将实三元二次型变成标准形，并写出所用的非退化线性变换。 二、设。A是否相似于一个对角阵？如果相似，则求出可逆矩阵C，使得为对角阵，且写出此对角阵。 三、设是一个整系数多项式，证明：如果是一个奇数，则不能被x-1整除，也不能被x+1整除。 四、 设A是一个矩阵，证明：如果A的秩等于的秩，则齐次线性方程组AX=0与齐次线性方程组X=0同解。 五、 设V是有理数域Q上的线性空间，id是V的恒等变换。又设是V的一个线性变换，证明：如果，则没有特征值。 六、 设 A是实对称矩阵，b是A的最大的特征值。证明：对任意n维非零的实列向量，都有。 七