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范德蒙行列式的应用 xx 摘 要：本文探讨了范德蒙行列式在行列式计算、向量空间理论、线性代数理论、多项式理论以及微积分中的应用 关键字：范德蒙行列式；向量空间；线性代数；多项式；微积分 引 言：范德蒙行列式的定义及其计算方法 我们称形如： 的行列式为范德蒙行列式。它构造独特、形势优美，在多方面理论的研究和应用中都非常重要。本文将通过若干实例来说明此行列式的应用 阶范德蒙行列式的计算 利用行列式的性质容易推的： 1.若将范德蒙行列式逆时针旋转，可得 2.若将范德蒙行列式顺时针旋转，可得 3.若将范德蒙行列式旋转，可得 1.在行列式计算中的应用 1.1.简单变形 有些行列式经过行（列）互换或提取公因子等简单变形后便可应用范德蒙行列式 例1.计算 解：将行列式的第行提出公因子得： 1.2.加行加列法 通过加行加列法把行列式转化为高一阶的范德蒙行列式，利用求系数法来计算行列式 例2．计算 解：将行列式加一行加一列得到阶范德蒙行列式  显然是展开式中的系数 而的系数为： 所以 其中表示依数而取个数的组合求和 1.3.加边与拆边法 增加第一行第一列并保持行列式值不变，然后通过拆行（列）后用范德蒙行列式计算行列式 例3. 计算 解：将行列式增加第一行第一列并保持行列式值不变     2.在向量空间理论中的应用 在向量空间理论中，我们会经常遇到需要范德蒙行列式转化的问题，通过转化，我们很容易就能得到需要的结论 例4.设是数域F上的n维向量空间，任何正整数m，则在中存在个向量，其中任取个向量都线性无关 证明：因为，所以只须在中考虑即可 取    令 是范德蒙行列式，且， 所以，线性无关 3.在微积分中的应用 例5.确定常数使得 当时为最高阶的无穷小，并给出其等价表达式 解：对的各项利用泰勒公式，有   当时，若最高阶无穷小在6阶以上，则有方程组  其系数行列式  为范德蒙行列式。由于，故以为未知数的方程组只有零解：，从而。这显然不符合题意，故以下考虑当时最高阶无穷小为6阶的情形。令  等价于 此以为未知数的线性方程组，其系数行列式为范德蒙行列式  方程组有唯一一组依赖于的解： ，从而在的邻域内的最高阶无穷小有下述形式的表达式  4.在多项式理论中的应用 在多项式理论中，涉及到求根问题的有许多，在分析有些题目时，范德蒙行列式是能起到关键的作用的，若能够熟练有效的运用范德蒙行列式，则对我们最终解决问题会有直接的帮助 例6，设是数域中互不相同的数，是数域中任一组给定的不全为零的数，则存在唯一的数域上次数小于的多项式，使 证明：设，由条件得 知： 因为互不相同，所以方程组的系数行列式 则方程组有唯一解，即唯一解的次数小于的多项式，使得，使得 5.在线性代数理论中的应用 例7.设，，试证明 证明:记 故  由已知，有，所以有 参考文献： [1]华东师范大学.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2001 [2]屠伯埙.线性代数方法与引导[M].复旦大学出版社，1986 [3]张禾瑞.高等代数[M].高等教育出版社，1989