菱形典型例题.docVIP

典型例题 　　例1? 如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且，求： 　　（1）的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积． 　　分析? （1）由E为AB的中点，，可知DE是AB的垂直平分线，从而，且，则是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而，利用勾股定理可以求出AC．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知 　　解? （1）连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∴ 　　是AB的中点，且，∴ 　　∴是等边三角形，∴也是等边三角形． 　　∴ 　　（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分， 　　∴ 　　∴，∴ 　　（3）菱形ABCD的面积 　　说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点． 　　例2? 已知：如图，在菱形ABCD中，于于 F． 　　求证： 　　分析? 要证明，可以先证明，而根据菱形的有关性质不难证明，从而可以证得本题的结论． 　　证明? ∵四边形ABCD是菱形，∴，且，∴，∴， 　　， 　　∴， 　　∴ 　　例3 已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，，，求的度数.? 　　解答：连结AC.? 　　∵四边形ABCD为菱形， 　　∴，.? 　　∴与为等边三角形.? 　　∴ 　　∵， 　　∴ 　　∴ 　　∴ 　　∵， 　　∴为等边三角形.? 　　∴ 　　∵， 　　∴ 　　∴ 　　说明 本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连AC，证.? 　　例4 ??如图，已知四边形和四边形都是矩形，且． 　　求证：垂直平分． 　　分析? 由已知条件可证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平分． 　　证明：∵四边形、都是矩形 　　∴，，， 　　∴四边形是平行四边形 　　∵，∴ 　　在△和△中 　　 　　∴△≌△?? ∴， 　　∵四边形是平行四边形 　　∴四边形是菱形 　　∴平分??? ∴平分??? ∵ 　　∴垂直平分． 　　例5? 如图，中，，、在直线上，且． 　　求证：． 　　分析? 要证，关键是要证明四边形是菱形，然后利用菱形的性质证明结论． 　　证明? ∵四边形是平行四边形 　　∴，，，∴ 　　∵，∴ 　　在△和△中? 　　∴△≌△? ∴ 　　∵?? ∴ 　　同理：? ∴ 　　∵ 　　∴四边形是平行四边形 　　∵?? ∴四边形是菱形 　　∴． ?