西北工业大学至7学学期线性代数考试试题.docVIP

西北工业大学2006至2007学年第一学期线性代数考试试题 （2006.11） 一、（18分）选择填空、计算填空： 1．设矩阵不可逆，维列向量组线性无关，则（）． (1)?向量组线性相关； (2)?向量组线性无关； (3)?向量组可能线性相关，也可能线性无关． 2．设，为2阶单位矩阵，满足，则 （）． 3．将矩阵的第2行加到第1行得到矩阵，再将矩阵的第2行与 第3行对换得到矩阵，那么，其中矩阵． 4．设，满足，则（）． 5．已知函数满足，，，则 ，，． 6．已知矩阵的特征值为，则的 全体特征值为（）． ? 二、（10分）设常数满足，计算行列式 三、（15分）设线性方程组的系数矩阵的秩为2， 求的值及方程组的通解．（要求用向量形式表示通解） 四、（10分）已知，求． 五、（10分）设矩阵的各行元素之和为1，齐次线性方程组有两个线性无关的解向量，讨论能否相似于对角矩阵．（要求写出依据） 六、（15分）已知二次型经过正交变换化为标准形． 1．求参数的值及所用的正交变换；（要求写出正交变换的矩阵） 2．问表示哪一类二次曲面？ 七、（12分）在向量空间中,?基(Ⅰ)与基(Ⅱ),,满足 ，， 1．求由基(Ⅰ)改变为基(Ⅱ)的过渡矩阵； 2．求在基(Ⅰ)下的坐标． 八、（10分）设矩阵的两个不同特征值对应的特征向量分别为,证明：向量组线性相关的充分必要条件是． 西北工业大学2006-2007学年第一学期线性代数考试试题答案 一、1．；2．-1；3．；4．； 5．；6．． 二、 ． 三、 由得． 同解方程组为，通解为 ，即 四、法１．，设，则 法２．，其中，且满足，于是 五、由得是的特征值，对应特征向量为． 设的两个线性无关解向量为，则有，从而是的特征值，对应的线性无关特征向量为． 由于线性无关，故能够相似于对角矩阵． 六、1．二次型的矩阵正交相似于，所以的特征值为．由 解得． ．可求得对应的特征向量为，而　　对应的特征向量为（已正交），所求的正交变换为，其中 2．：表示椭圆柱面． 七、１．由于，其中，，于是 故由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵为 　　２． 故在基(Ⅰ)下的坐标为． 　　［注］可直接解出，再写出；也可使用坐标变换公式． 八、充分性．已知，则，从而线性相关． 必要性．已知线性相关，则存在不全为，使得 即 由于，所以线性无关，故有 （*） 由不全为知式（*）有非零解，于是，故．