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西安建筑科技大学线性代数期末模拟试题
西安建筑科技大学线性代数期末模拟试题5
一．??填空题：??????????????????????????????????????????????????????????????????????
（1）???????设三阶方阵的3个特征值为，则_________，的特征值为_________，的特征值为_______，的特征值为______.
（2）???????已知的特征值?则_______.
（3）???????设为阶方阵，有非零解，则必有一个特征值为_______.
（4）???????是方阵的属于特征值的特征向量，则对应于特征值的特征
向量为_________.
（5）???????设为三阶方阵，满足则______.
（6）???????若阶可逆阵的每行元素之和均为，则数_____一定是
的特征值。
（7）???????若与∧相似，则______，______，______.
（8）???????二次型的矩阵为______.
（9）???????设，设则______.
（10）???若二次型正定，则满足______.
（11）???是阶方阵，且则和相似，这是因为存在可逆阵
?______，使.
?????（12）是阶方阵，是的三重特征值，是的对应于的线性无关的特征向量的个数，则的取值是______.
二．??选择题：
（1）设阶方阵与有相同的特征值，则下列说法正确的是（???）
（A）与相似??????????????????（B）存在对角阵∧，使，都相似于∧
（C）存在正交阵，使??（D）
（2）设是非奇异方阵的一个特征值，则有一个特征值为（????）
（A）??????（B）????（C）???????（D）
（3）设是阶方阵，是的特征值，对应的特征向量分别为，则
下列结论正确的是（???）
（A）时，的分量成比例
（B），则
（C）时不可能是的特征向量
（D），若也是特征值，则对应特征向量是
（4）设三阶方阵的特征值为，，则为（??）
（A）0?????（B）1???????（C）2????????（D）3
（5）设是阶方阵，且为正整数），则（???）
（A）=0??????????????????（B）有一个不为零的特征值
（C）的特征值全为零??????（D）有个线性无关的特征向量
（6）可逆矩阵的列向量是阶方阵的属于特征值的特征向量，则（??）
（A）
（B）?
（C）
（D）为的基础解系
（7）下列二阶矩阵可对角化的是（???）
（A）????（B）?????（C）???????（D）
（8）设是阶方阵，且与相似，则（??）
（A）???????（B）与有相同的特征值与特征向量
（C）与都相似于一个对角阵???（D）对任意常数相似
（9）设则与合同的矩阵是（???）
（A）??????（B）??
（C）?????（D）
?(10)二次型为正定二次型的充要条件是（??）
（A）??????????????????（B）负惯性指数为
（C）的所有对角元????（D）合同于单位阵I
（11）当满足（???）时，二次型为正定
二次型
（A）?????（B）
（C）????????（D）
三．计算证明题：
（1）设三阶方阵满足，且
，=，，
求矩阵.
（2）设求为正整数）.
（3）设三阶方阵的特征值为，求.
（4）设三阶矩阵的特征值为,对应的特征向量为
又向量
①?????????将用线性表示;
②?????????求为自然数）.
（5）设，试由的特征多项式和特征值写出的特征多项式和特征值.
（6）设，且试求.
（7）设方阵满足，试证的特征值只能是1或.
（8）若任一维非零列向量都是阶方阵的特征向量，证明是数量阵.
（9）阶实对称阵的特征值为，是属于的单位特征向量，证明
的特征值是.
（10）三阶方阵的行列式=，且三维向量是齐次线性方程组的一个基础解系，证明可对角化，并找出的相似对角阵.
（11）设为二阶实矩阵，且，则可对角化.
（12）求一个正交变换，将二次型
化为标准形，并判断是否为否定二次型.
（13）已知二次曲面方程可以经过正交变换
化为椭圆柱面方程，求的值和正交矩阵.
（14）二次型
通过正交变换化为标准形
①?????求的值.
②?????求所用的正交变换
③?????若上述的二次型为正定二次型，问应取怎样的值.
（15）设为奇数阶实对称阵，且，证明存在非零维向量，使.
（16）设是阶正定矩阵，证明的行列式大于.
（17）设为阶实对称阵，且，证明是正定矩阵.
(18)?设为正定矩阵，，且，证明是正定矩阵.
（19）已知为实反对称矩阵，证明：可逆且正定.
（20）设是实矩阵，且，证明为正定矩阵的充要条件是
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