浙大城院数学建模2解题.ppt

第二章、初等模型 对于一些较简单的问题，只需要应用初等数学或简单的微积分知识即可建模加以研究。而对于一些过于复杂的黑箱模型，如果目前还没有可能作深入细致的研究，那么，应用初等方法对它先作一番粗略的分析研究也是十分有意义的。本章将结合实例，介绍一些对问题作粗略研究的技巧与方法。 某航空母舰派其护卫舰去搜寻一名被迫跳伞的飞行员，护卫舰找到飞行员后，航母向护卫舰通报了航母当前的位置、航速与航向，并指令护卫舰尽快返回，问护卫舰应当怎样航行，才能在最短时间内与航母汇合。 § 2.1 舰艇的会合 为计算方便，我们假设海洋是一个平面，建立平面直角坐标系如图2-1所示，航母在A(0,b)处，护卫舰在B(0，－b)处，两者间的距离设为2b。。 图2-1 设航母沿与x轴正向夹角为 的方向以速度v1行驶(假设v1为常数)，护卫 舰将沿与x轴正向夹角为 的方向以速度v2行驶, 并设汇合地点为P(x,y)。我们记 (设v2为常数，从而 亦为常数，后面会说明，令v2为常数是有理由的)。 讨论 根据题意，护卫舰和航母将在某段时间之后同时到达会合地点，护卫舰到达会合地点所行进的距离应该为航母行进距离的 倍，即 ，将各点坐标带入得： 此方程为会合地点的轨迹方程。 故 （2.1） 若 ，即航母速度与护卫舰速度相等，则(2.1)式可化为 ，其解为y=0。因此这种情况下会合地点必然在线段AB的垂直平分线即x轴上(见右面的图2-2)，护卫舰只需沿与x轴正向成 的方向以速度v1行驶即可完成会合。 图2-2 若 ，(2.1)式可化为 即 令 ，则上式可以简记为 （2.2） 此时会合地点的轨迹为一个以(0,h)为圆心、r为半径的圆。 显然，h的正负由a的大小来确定，但不论h是正是负，易见|h|b且|h|r，即圆心(0,h)位于AB所在直线(即y轴)上，但不在线段AB上，整个圆(2.2)位于x轴上方(若a1)(见图2-3)或整个位于x轴下方(若a1)。 图2-3 若a1，护卫舰的速度v2大于航母的速度v1 。 由于 不难看出：a越大，r也越小；h越小，|AP|也越小，故为了与航母尽早会合，护卫舰必以其最大可能的行驶速度行驶，这也说明，我们假设v2与a均为常数是合理的。 假如a1 ，即航母的速度v1大于护卫舰的速度v2，我们可以作类似的讨论，本处从略。但这种情况一般不会发生，因为护卫舰应当比航母更灵活，开得也更快，否则就无法发挥其保护航母的作用，反倒有可能成为航母的累赘。 现在讨论如何求护卫舰应取的航行方向。先求出航母航行方向与圆(2.2)的交点，即求解方程组 求得交点P(x,y)后，将x、y代入方程 中以求出 ，即求出 此即护卫舰应取的航行方向。 （2.3） 本模型虽很简单，但分析非常清晰且易于实际应用： 护卫舰可事先编好程序，一旦航母告知了航行的方向与速度，护卫舰上的计算机可立即求出a，进而求出h、r及会合地点P(x,y)，最后求得自己的航行方向 (护卫舰总以最大航速去会合，故关键是求出航向)。 我们曾将本节讨论的内容布置为最初几节课的习题让学生自己来解答，只有少数同学能将问题分析得这样清楚且便于实际使用。但也有同学给出了更加简单的确定护卫舰航行方向的方法：不妨假设a1，在获知航母的航向和速度之后，根据护卫舰自身的最大速度，马上可以求出a。假设按照航向 与航母会合的时间为T，则在时间T内护卫舰行进的距离应为航母的a倍。如图2-4所示 图2-4 ， ， ， ， 由正弦定理 马上可以确定出护卫舰的航向 § 2.2 三村短路问题 有三个村庄，由于条件所限，打算合建一所小学，并且共同修筑从小学到各村的道路。问应该将小学的地址选在什么地方，才能使修筑的道路总长度最短呢？这是一个著名的趣味数学问题，称为三村短路问题。 设三个村庄的位置分别为点A1，A2，A3，小学的位置是点P，则三村短路问题可叙述为：A1，A2，A3为平面上三个不同的点P，在平面上求一点，使得它到这三个已知点的距离之和S=|PA1|+|PA2|+|PA3|最小。 解法一：(微分法)在平面上建立直角坐标系，设已知Ai坐标为(xi,yi)(i=1,2,3)，所求点P坐标为(x,y)．则 我们只需求二元函数S=f(x,y)的最小