角函数的图像与性质知识点及习题.docVIP

三角函数的图象与性质 基础梳理 1.三角函数的图象和性质 函数 性质 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 定义域 R R {x|x≠kπ＋π2，k∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴： x＝kπ＋π2(k∈Z)； 对称中心：(kπ，0)(k∈Z) 对称轴： x＝kπ(k∈Z)___； 对称中心： _(kπ＋π2，0) (k∈Z)__ 对称中心：_\a\vs4\al\co1(\f(kπ2)，0) (k∈Z) 周期 2π_ 　2π　 π 单调性 单调增区间 [2kπ－π2，2kπ＋π2](k∈Z)； 单调减区间 [2kπ＋π2，2kπ＋3π2] (k∈Z) 单调增区间 [2kπ－π，2kπ] (k∈Z)； 单调减区间 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)_ 单调增区间_ (kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z) 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 2.一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 对函数周期性概念的理解 周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数.如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期. 函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 2π|ω| ， y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 π|ω| . 3..求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界. (2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响. (3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y＝sin2x－4sin x＋5，令t＝sin x(|t|≤1)，则y＝(t－2)2＋1≥1，解法错误. 5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ) (ω0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号) ( 同角基本关系式 倒数关系 商的关系 平方关系 同角基本关系式 倒数关系 商的关系 平方关系 诱导公式；奇变偶不变，符号看象限 两角和与差的三角函数公式 万能公式  二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式  三角函数的和差化积公式 三角函数的积化和差公式 ? 化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式） 其中角所在的象限由、的符号确定，角的值由确定 【点评】求三角函数的最值问题，主要有以下几种题型及对应解法． (1)y＝asinx＋bcosx型，可引用辅角化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)(其中tanφ＝ba)． (2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x型，可通过降次整理化为y＝Asin2x＋Bcos2x＋C. (3)y＝asin2x＋bcosx＋c型，可换元转化为二次函数． (4)sinxcosx与sinx±cosx同时存在型，可换元转化． (5)y＝asinx＋bcsinx＋d(或y＝acosx＋bccosx＋d)型，可用分离常数法或由|sinx|≤1(或|cosx|≤1)来解决，也可化为真分式去求解． (6)y＝asinx＋bccosx＋d型，可用斜率公式来解决 三角函数的图像与性质热身练习: 1．函数y＝cos\a\vs4\al\co1(x＋\f(π3))，x∈R(　　)． A．是奇函数 B．既不是奇函数也不是偶函数 C．是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 2．函数y＝tan\a\vs4\al\co1(\f(π4)－x)的定义域为(　　)． A.x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠kπ－\f