角函数的图象与性质知识点汇总.docVIP

三角函数的图象与性质 　　一、知识网络 　　三、知识要点　　（一）三角函数的性质　　1、定义域与值域　　2、奇偶性　　（1）基本函数的奇偶性　　奇函数：y＝sinx，y＝tanx；　　偶函数：y＝cosx.　　（2） 型三角函数的奇偶性　　（ⅰ）g（x）＝ （x∈R）g（x）为偶函数 　　由此得 ；　　同理， 为奇函数　　 .　　（ⅱ）  为偶函数 ； 为奇函数 .　　3、周期性　　（1）基本公式　　（ⅰ）基本三角函数的周期　　y＝sinx，y＝cosx的周期为 ；　　y＝tanx，y＝cotx的周期为 .　　（ⅱ） 型三角函数的周期　　 的周期为 ；　　 的周期为 .　　（2）认知　　（ⅰ） 型函数的周期 的周期为 ； 的周期为 .　　（ⅱ） 的周期 的周期为； 的周期为 .　　均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝ 的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别.　　（ⅱ）若函数为 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”.　　（ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明.　　（3）特殊情形研究　　（ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为 ；　　 （ⅱ） 的最小正周期为 ；　　（ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 .　　 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象.　　4、单调性　　（1）基本三角函数的单调区间（族）　　依从三角函数图象识证“三部曲”：　　①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；　　②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）；　　③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）　　循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族.　　揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域.　　（2）y＝ 型三角函数的单调区间　　此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为　　①换元、分解：令u＝ ，将所给函数分解为内、外两层：y＝f（u），u＝ ；　　②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出f（u）的单调性，而后利用（1）中公式写出关于u的不等式；　　③还原、结论：将u＝ 代入②中u的不等式，解出x的取值范围，并用集合或区间形成结论.　　（二）三角函数的图象　　1、对称轴与对称中心　　（1）基本三角函数图象的对称性　　（ⅰ）　正弦曲线y＝sinx的对称轴为 ；　正弦曲线y＝sinx的对称中心为（ ，0） .　　（ⅱ）　余弦曲线y＝cosx的对称轴为 ；　余弦曲线y＝cosx的对称中心 　　（ⅲ）正切曲线y＝tanx的对称中心为 ；　正切曲线y＝tanx无对称轴.　　认知：　　①两弦函数的共性：x＝ 为两弦函数f（x）对称轴 为最大值或最小值；（ ，0）为两弦函数f（x）对称中心 ＝0.　　②正切函数的个性：　　（ ，0）为正切函数f（x）的对称中心 ＝0或 不存在.　　（2） 型三角函数的对称性（服从上述认知）　　（ⅰ）对于g（x）＝ 或g（x）＝ 的图象x＝ 为g（x）对称轴 为最值（最大值或最小值）；（ ，0）为两弦函数g（x）对称中心 ＝0.（ⅱ）对于g（x）＝ 的图象（ ，0）为两弦函数g（x）的对称中心 ＝0或 不存在.　　2、基本变换　（1）对称变换　（2）振幅变换（纵向伸缩）（3）周期变换（横向伸缩）（4）相位变换（左右平移）（5）上、下平移　　3、y＝ 的图象　　（1）五点作图法　　（2）对于A，T， ， 的认知与寻求：　①A：图像上最高点（或最低点）到平衡位置的距离；　　 2A：图像上最高点与最低点在y轴上投影 间的距离.　　② ：图象的相邻对称轴（或对称中心）间的距离； ：图象的对称轴与相邻对称中心间的距离.　　 ： 由T＝ 得出.　 　③ ：　　解法一：运用“代点法”求解，以图象的最高点（或最低点）坐标代入为上策，若以图象与x轴交点坐标代入函数式求 ，则须注意检验，以防所得 值为增根；　　解法二：逆用“五点作图法”的过程（参见经典例题）.　　四、经典例题　　例1、求下列函数的值域：　　（1） 　（2） 　（3） 　　（4） 　　（5） 　（6） 　　分析：对于形如（1）（2）（3）的函数求值域，基本策略是（ⅰ）化归为 的值域；（ⅱ）转化为sinx（或cosx）的二次函数；对于（4）（5）（6）之类含有绝对值的函数求值域，基本策略则是