解元次方程的算法.docVIP

1．2　解一元二次方程的算法 1、方程的根是　　　　，方程的根是　　　　　 2、用适当的数（式）填空， （1）　　＝（　　　）2　　（2）＝ 3、已知是方程的一个根，则的值为 ，方程的另一个根为 4、已知方程的根的判别式等于5，则= ，此方程的两根 ， 5、如果分式的值为0，则的值为 1、选择方法，求解方程 例1 解方程 （1） （2） 解（1）法一（因式分解法） 原方程可化为 将方程左边因式分解，得 即 或 解得 ， 法二 （公式法）原方程可化为 ∵，， ∴ 解得， （2）法一（因式分解）原方程可化为： 整理，得， 即 解得 ， 法二（开平方） 原方程可化为： 开平方，得 或 解得 ， 解题规律总结 因式分解法与公式法是我们解一元二次方程最常用的方法，因式分解就是把方程化成一元二次方程一般形式后，左边分解成两个一次因式乘积；公式法是万能法，配方法是开平方法的基础，开平方法适用于形如的方程。 2、巧用换元，化难为易 例2 若，求的值 解：设=,则等式为：， 整理，得，即 解得，， ∵，∴=3 解题规律总结 换元法是把含一个字母或几个字母的式子用一个新的字母来表示，由多元变一元，高次化低次，达到化繁为简的目的。如，可设y=x2. 3、不解方程，整体代入求值。 例4 已知，求的值。 解：∵， 即 ∴= = = =5 解题规律总结 求出x，再代入代数式求值是常用的方法。由于本题的x的值是无理数且有两个值，计算非常繁锁，实行构建，既达到降次目的，又避免了两次计算。 4、一元二次方程的判别式的应用 例4 已知关于的方程。 （1）此方程是否有实数根？说明理由。 （2）若等腰ABC的一边长，另两边长，恰好是方程的两个根，求ΔABC的周长。 解：（1）方程的判别式为 = = 因为无论为何值，判别式恒为非负数，所方程总有实数根。 （2）若以边长为腰，则，中有一个为1，不妨设=1， 把x=1代入方程，得==1，且方程为。解得 ，，即.根据三角形三边关系，此时不能构成三角形。 若以为底，则，为腰，方程有两个相等的实数根，由（1）知，， 方程为，解得==2，三角形ABC的周长为5。 解题规律总结 判别式的应用分为两类情况，其一是已知根的情况确定待定系数的取值，通常是由条件写出一个等式或不等式；其二是判别根的存在性，解法是写出判别式，或者是利用配方法将判别式化变形。 例5 解方程 错解 方程两边同除以，得 ，方程的解是 错因 方程两边只能除以一个不等于0的数，所得方程才与原方程同解，显然可为0，造成失根。 正解 原方程可化为，即 解方程得 ， 例6 已知为非负整数，且方程有整数根，求方程的整数根 解 法一 ∵方程有整数根， ∴判别式，即 ∵ 为非负整数，∴ 或或 如果，则，∴， 如果，则不是整数 如果，则，∴， 法二 由，得 ∵ 为非负数，∴，，即 又∵ 是整数，∴ 可能为-3，-2，-1，0， 当时，；当时，；当时，；当时，； 所以，若，方程的两根为， 若，方程的两根为， 一、选择题 1、解一元二次方程，结果正确的是（ ） A． B． C． D． 2、下列二次三项式是完全平方式的是（ ） A． B． C． D． 3、若是方程的一个解，那么的值为（ ） A．-3 B．-7 C．5 D．7 4、在下列方程中，没有实数根的方程是（ ） A． B． C． D．（为任意实数） 5、若与互为倒数，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 6、若关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 二、填空题 7、若代数式的值为12，则 8、若关于x的方程有两个相等的实数根，则= 9、已知，那么关于x的一元二次方程的解是 10、为解方程，我们可以将视为一个整体，设,则，则方程可化为 …①，解此方程，得，。当时，，所以，；当时，，所以， （1）在由原方程得到的方程①的过程中，利用换元法达到了 的