解析几何义(曲线方程).docVIP

第四节 曲线与方程 一、曲线与方程 1．一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解。（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。 2．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系.(2)设点——设轨迹上的任一点P(x,y).(3)列式——列出动点P所满足的关系式.(4)代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为x,y的方程式，并化简。(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. 注:求轨迹和轨迹方程有什么不同?(求轨迹和轨迹方程的不同:后者只指方程(包括范围)),而前者包含方程及所求轨迹的形状、位置、大小等。 二曲线方程的求法 1、直接法：直接根据等量关系式建立方程. 例1　已知点，动点满足，则点的轨迹是（　　） Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线 2、定义法：运用有关曲线的定义求轨迹方程． 例2　在中，上的两条中线长度之和为39，求的重心的轨迹方程． 注意：求轨迹方程时要注意轨迹的纯粹性与完备性. 3、转移代入法：此方法适用于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题. 例3　已知△ABC的顶点，顶点在抛物线上运动，求的重心的轨迹方程． 4、参数法：如果不易直接找出动点的坐标之间的关系，可考虑借助中间变量（参数），把x，y联系起来． 例4　已知线段，直线垂直平分于，在上取两点，使有向线段满足，求直线与的交点的轨迹方程． 评析：参数法求轨迹方程，关键有两点：一是选参，容易表示出动点；二是消参，消参的途径灵活多变. 5、待定系数法：当曲线的形状已知时，一般可用待定系数法解决. 例5、已知A，B，D三点不在一条直线上，且，，，． （1）求点轨迹方程；（2）过作直线交以为焦点的椭圆于两点，线段的中点到轴的距离为，且直线与点的轨迹相切，求椭圆方程． 【基础训练】 1:已知两点给出下列曲线方程：①；②；③；④，在曲线上存在点P满足的所有曲线方程是（ ） A ①③ B ②④ C ①②③ D ②③④ 2.两条直线与的交点的轨迹方程是 . 3.已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是 . 4.当参数m随意变化时，则抛物线的顶点的轨迹方程为___________。 5.点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，则点M的轨迹方程为____________。 6.求与两定点距离的比为1：2的点的轨迹方程为_________ 7.抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△ABC重心P的轨迹方程。 【能力训练】 8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，求此双曲线方程。 9.已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。 10.过原点作直线l和抛物线交于A、B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程。 【创新应用】 11.一个圆形纸片，圆心为O，F为圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于P，则P的轨迹是（ ） A:椭圆 B:双曲线 C:抛物线 D:圆 曲线与方程 一、曲线与方程 1．一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解。 （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。 注：如果只满足第（2）个条件，会出现什么情况？（若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”），则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程，如分段函数的解析式。 2．求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系.(2)设点——设轨迹上的任一点P(x,y).(3)列式——列出动点P所满足的关系式. (4)代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为x,y的方程式，并化简。(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. 注:求轨迹和轨迹方程有什么不同?(求轨迹和轨迹方程的不同:后者只指方程(包括范围)),而前者包含方程及所求轨迹的形状、位置、大小等。 二曲线方程的求法 1、直接法：直接根据等量关系式建立方程. 例1　已知点，动点满足，则点的