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第六章 常微分方程数值方法 连续问题的离散处理——寻求微分方程的解在某些离散点上的值——在处的近似值； 记号：——所求函数在处的（准确）函数值， ——计算得到的处的函数（近似）值， ——节点， ——步长； 等步长：；以下若不另作说明，一般总记为等步长。 § 6.1 初值问题的数值方法 考察微分方程初值问题： 由微分方程理论可知：若函数关于满足条件，即存在与无关的常数，使 初值问题的解存在且唯一； 6.1.1 法及其变形 1、法 由Taylor 展开式： 作局部化假设： ，并略去项，便有 将此式右端作为的近似，便得到公式 Euler公式 两者的差（即略去的项）称为局部截断误差，记作： Euler公式也可由其他方法导出，例如由第四章数值导数公式，可有： ； 解出，并由 替换，便可得Euler公式。 又如，根据Newton-leibniz公式： 将以“0次插值多项式”替换，即以 代入积分，得到数值积分（左矩形）公式，及其误差： 又得到与Taylor 展开式相同的表达式，从而又导出Euler公式。 几何意义——折线法 若一个公式的局部截断误差为，则称该公式的精度为阶，或该公式为阶公式。 Euler公式是1阶公式。 注意，以上的截断误差是在局部化假设的前提下得到的，即认定。倘若在每一步都按局部化假设，我们有Euler公式的 总体截断误差： 2、后退法 若取数值导数公式： 与前相同的推导过程，可以得到 在局部化假设的前提下截去局部截断误差 便得到后退法公式： 注意到此公式中的右端也有，需要求解关于的方程才能得到。因此将这类公式称为隐式公式，而将可以通过直接计算得到的公式称为显式公式。后退公式是一阶隐式公式，Euler公式是1阶显式公式 6.1.2 多步法 1、 梯形公式： 在式 右端的积分中，取梯形积分公式，有 由此，并据微分方程，可得： 梯形公式 局部截断误差： 这是一个2阶隐式公式。 2、 Simpson公式： 在式 右端的积分中，取Simpson积分公式，有 由此，并据微分方程，可得： Simpson公式 局部截断误差： ； 与以前的公式不同，用Simpson公式计算，必须有前2步的函数值：和。因此这种方法称为2步方法，而为启动此算法所需的最初的2个函数值：称为表头。更一般的，若计算必须有至少前2步函数值，则这种方法称为多步法。具体地，若计算必须有前k步的函数值，则这种方法称为k步方法，而为启动该方法所需的最初的k个函数值：称为该方法的表头。与此相对，以前的方法计算，只须前1步的函数值，便称为单步方法。 因此，Simpson公式是2步、4阶、隐式方法。 3、 Adams方法（线性多步法） 在式 右端的积分中，若取具有k+1节点的插值多 项式近似替代作为被积函数，导出初值问题的求解方法称为Adams方法。 （1）显式Adams方法——Adams-Bashforth公式 取处的构造插值多项式取代： 其中。由于，有 由此（以后为方便计，记），可得显式的多步法Adams-Bash forth公式及其局部截断误差 这是步、阶的显式公式。 下表是的 的数值（注意：） 0 1 1 1 2 3 -1 2 12 23 -16 5 3 24 55 -59 37 -9 4 720 1901 -2774 2616 -1274 251 以下是 的公式推导过程： 作变量代换：，以为变量，当的变化区间为时，的变化区间为，且 ，有 （2）隐式Adams方法——Adams-Moulton公式 若取处的构造插值多项式取代，与前一样的方法，可得隐式的多步法Adams-Moulton公式及其局部截断误差 这是步、阶的隐式公式。 下表是的 的数值（注意：）： 0 1 1 1 2 1 1 2 12 5 8 -1 3 24 9 19 -5 1 4 720 251 646 -264 106 -19 述评：从表可见，对相同的，相同，而，特别是：， ，而有若干，因而在存在计算误差时，由前步导致的误差 显然隐式公式要比显式公式小（显式公式对前步的误差会被放大，而显隐式公式则不会），而且局部截断误差也是隐式公式要比显式公式小，结论：隐式公式的稳定性一般比显式公式好。 6.1.3 待定系数法 利用 展开式比较有关项的系数，可以直接导出公式——待定系数法。 例：求以下数值公式的系数使公式具有尽可能高的精度： 解：由于，因此由展开式， 同时，对所求公式右端各项也作相应的展开，并乘以相应的系数： 由于期望尽可能准确，比较各对应项的系数，可得方程组： ，解之可得： ； 注意到局部截断误差是，因