算法分析与设计第2章课案.ppt

第2章 递归与分治策略 学习要点: 理解递归的概念。 掌握设计有效算法的分治策略。 通过下面的范例学习分治策略设计技巧。 （1）二分有哪些信誉好的足球投注网站技术； （2）大整数乘法； （3）Strassen矩阵乘法； （4）棋盘覆盖； （5）合并排序和快速排序； （6）线性时间选择； （7）最接近点对问题； （8）循环赛日程表。 将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问题。 算法总体思想 n T(n/2) T(n/2) T(n/2) T(n/2) T(n) = 对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止。 算法总体思想 对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直到问题规模足够小，很容易求出其解为止。 n T(n) = 将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。 算法总体思想 将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。 n T(n) = 算法总体思想 将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解。 分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题， 分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破， 分而治之。 2.1 递归的概念 直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。用函数自身给出定义的函数称为递归函数。 由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。 分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。 下面来看几个实例。 2.1 递归的概念 例1 阶乘函数 阶乘函数可递归地定义为： 边界条件 递归方程 边界条件与递归方程是递归函数的二个要素，递归函数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出结果。 2.1 递归的概念 例2 Fibonacci数列 无穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，称为Fibonacci数列。它可以递归地定义为： 边界条件 递归方程 第n个Fibonacci数可递归地计算如下： int fibonacci(int n) { if (n = 1) return 1; return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); } 2.1 递归的概念 例3 Ackerman函数 当一个函数及它的一个变量是由函数自身定义时，称这个函数是双递归函数。 Ackerman函数A(n，m)定义如下： 2.1 递归的概念 例3 Ackerman函数 前2例中的函数都可以找到相应的非递归方式定义： 本例中的Ackerman函数却无法找到非递归的定义。 2.1 递归的概念 例3 Ackerman函数 A(n，m)的自变量m的每一个值都定义了一个单变量函数： m=0时，A(n,0)=n+2 m=1时，A(n,1)=A(A(n-1,1),0)=A(n-1,1)+2，和A(1,1)=2故A(n,1)=2*n m=2时，A(n,2)=A(A(n-1,2),1)=2A(n-1,2)，和A(1,2)=A(A(0,2),1)=A(1,1)=2，故A(n,2)= 2^n 。 m=3时，类似的可以推出 m=4时，A(n,4)的增长速度非常快，以至于没有适当的数学式子来表示这一函数。 2.1 递归的概念 例4 排列问题 设计一个递归算法生成n个元素{r1,r2,…,rn}的全排列。 设R={r1,r2,…,rn}是要进行排列的n个元素，Ri=R-{ri}。 集合X中元素的全排列记为perm(X)。 (ri)perm(X)表示在全排列perm(X)的每一个排列前加上前缀得到的排列。R的全排列可归纳定义如下： 当n=1时，perm(R)=(r)，其中r是集合R中唯一的元素； 当n1时，perm(R)由(r1)perm(R1)，(r2)perm(R2)，…，(rn)perm(Rn)构成。 2.1 递归的概念 例5