算法设计与分析-4课案.ppt

第4章 贪心算法 贪心算法概念与基本要素 （1）最优子结构性质 （2）贪心选择性质 贪心算法与动态规划算法的差异 应用范例 （1）活动安排问题 （2）哈夫曼编码 （3）最优装载问题 （4）单源最短路径 （5）最小生成树 （6）多机调度问题 贪心算法概念与基本要素 目标：问题形式化表示、比较不同求解方法效率 E.g.1 付款问题 有5元、2元、1元、5角、2角、1角的货币多张，假设每种面值的货币的张数都足够多，需要找给客户4元6角 问题：如何挑选合适的币值及其张数，使得付给客户的货币总张数最少？ 多种 答案： 4元6角= 2元*2 + 5角*1 + 1角*1 ——4张 4元6角= 1元*4 + 2角*2 + 1角*2 ——8张 ……….. 可以采用多种方法求解此问题：枚举、分治、动态规划、贪心 问题的形式化表示 输入： 1）可用币值及其张数 2张5元、 2张2元、 4张1元、 4张5角、 4张2角、 4张1角 Available=(5, 2, 1, 0.5, 0.2, 0.1) N=(n5元, n2元, n1元, n5角, n2角, n1角) =(2, 2, 4, 4, 4, 4) 2）应付款总数：X = 4元6角 输出/解向量： 支付的币种及其张数 解向量X=(x5元, x2元, x1元, x5角, x2角, x1角) X1=(x5元, x2元, x1元, x5角, x2角, x1角) =(0, 2, 0, 1, 0, 1) 4 X2=(x5元, x2元, x1元, x5角, x2角, x1角) =(0, 0, 4, 0, 2, 2) 8 约束： 1）已支付数应等于应支付数： 5*x5元 + 2* x2元 + 1*x1元 + 0.5* x5角 + 0.2*x2角+ 0.1* x1角 = X=4元6角 2）每种货币支付的张数不超过该货币总张数： x5元≤n5元, x2元≤n2元, x1元≤n1元 x5角≤ n5角, x2角≤ n2角, x1角≤ n1角 优化目标： 支付的货币总张数最少 对可行解X=(x5元, x2元, x1元, x5角, x2角, x1角)， min (x5元 + x2元 + x1元 + x5角 + x2角 + x1角) 枚举法求解： 1. 在满足约束2—支付张数限制的前提下，考虑解向量X中各 分量xi的各种组合，i= 5元, 2元, 1元, 5角, 2角, 1角，得到1个可能解 X=(x5元, x2元, x1元, x5角, x2角, x1角) 注： N=(n5元, n2元, n1元, n5角, n2角, n1角) =(2, 2, 4, 4, 4, 4)时，共有 (2+1)* (2+1)* (4+1)* (4+1)* (4+1)* (4+1)* (4+1)种组合 2. 判断每种可能解X=(x5元, x2元, x1元, x5角, x2角, x1角)是否满足约束1——支付总额，从中选出可行解 3. 从可行解中选出货币总张数最少者，作为最优解 分治法求解 4元6角 2元3角 2元3角 2元 3角 2元 3角 1元 2角 1元 x2元=1 X1角=3 1角 X1角=1 5角 x1元=1 分治法求解本问题时的难点： 1）如果只采用1种固定的划分方法，有可能得不到解 e.g 始终采取2等分方式 4元6角 ? 2元3角 ? 1元1角5分？？！！ 2）采用多种问题划分方法，不同划分导致不同可行/部分解 划分1：一分为二/2等分 划分2：m元n角 ? m元 + n角 2）分治法比较难处理最优化问题 由于带有最优化要求，需要考虑多种划分方法、可行解 ? 算法效率 动态规划求解法 满足约束的部分底层最小子问题 底层最小子问题：对币值为i的单种货币，分别取0,1,…, ni张货币 .。。。 .。。。 存在问题：各种规模的子问题及其组合的数目太多，求解费时耗力 10 贪心方法求解 原理： 1） 自上而下，逐步构造、扩展货币支付解向量 X=