随机振动3课案.ppt

5-4-1 傅立叶分析 5-4-2 自谱密度 5-4-3 窄带和宽带随机过程 5-4-4 互谱密度 5-4-5 相干函数 5-4-6 单边与双边谱密度 5-4 随机振动的频域描述—谱密度 5-4-1 傅立叶分析 1.振动的频谱分析 实际上遇到的振动问题，往往不是简单的简谐振动，而是有多种频率同时存在的周期性振动、非周期振动、随机振动。因此，研究这些复杂振动，就要把它们进行分解，分析它们究竟含有多少种频率成分。 如果振动波形是任何形式的周期函数，根据周期函数可用傅立叶级数表示，可将其分解为一系列简谐振动，这些简谐振动成整数倍关系。 5-4-1 傅立叶分析 设周期性振动的时间函数为xT(t) ，其周期为T，则它的傅立叶展开式为 式中 为了方便起见，我们将上式写成 式中 5-4-1 傅立叶分析 5-4-1 傅立叶分析 从上图中可以看出这是一组离散的垂直线。只是在 、 ……、 处， 和 才有确定的数值。这样的图形叫做波形频谱图。它是在频率域上描述振动的规律，即不同的频率有它对应的幅值和相位角。 2.傅立叶积分 对于一个非周期振动的时间函数x(t),傅立叶级数展开方法已不适用，可采用傅立叶积分方法。在上面的频谱图中，水平轴表示频率，所以第n个系数的位置为 相邻谐和频率之间的间隔为 5-4-1 傅立叶分析 函数不能分解为离散的频率分量。 如果x(t)绝对可积，即 则x(t)的傅立叶变换对存在。因此，可以把傅立叶级数转化为傅立叶积分。 当 时，傅立叶级数为 整理得 5-4-1 傅立叶分析 当周期T趋于无穷大时，则有 ，求和变成自 到 的积分。这时频率是在一个宽广的频带上变化，为一连续变量，把 记做 ，因此上式可以写成 5-4-1 傅立叶分析 记 5-4-1 傅立叶分析 因此上式可以写成 和 就是x(t)的傅立叶积变换分量。上式可写成 这就是x(t)的傅立叶积分表达式，或称为傅立叶逆变换。 5-4-1 傅立叶分析 定义复变函数 为 将 和 代入并整理得 注意到 是 的偶函数， 是 的奇函数， 与 都是 的偶函数，所以x(t)可以写成 因为 和 为奇函数，所以有 将上式乘以i后加到x(t)上，并不影响x(t)的值。得到 5-4-1 傅立叶分析 将上式各项进行整理得到 我们把上式与 称互为傅立叶变换， 是 的傅立叶变换， 是 的逆变换。 是以时间为变量的函数， 是以频率为变量的函数。即 5-4-1 傅立叶分析 傅立叶级数和傅立叶积分都是把一个波形分解为简谐波的迭加。但是两者的迭加却有差异。傅立叶级数是离散的迭 5-4-1 傅立叶分析 加，其简谐波有一个基本频率 ，其余频率是基频 的整数倍。所以迭加的结果表示一个周期为T的周期函数。而傅立叶积分是频率的一个连续迭加函数， 可以取任意实数。虽然迭加的每一项 都是周期函数，但它们的周期之间不存在整数关系，因而迭加的结果不是周期函数，而是一个非周期函数。 另外，x(t)用傅立叶积分表示时，其简谐分量的振幅为 ，这是一个无穷小量，确切的说， 不象傅立叶级数中的 那样表示振幅谱，而是在长度为 这样一个很小的频率区间内的单位频率上的幅值。不过习惯上仍称 为复变谱， 为振幅谱。 根据傅立叶积分变换，认为非周期振动函数x(t) ，是由无数个幅值为 的谐波分量组成的，故有时称 是x(t)的频谱（或傅立叶谱）。在实际工作中，经常 5-4-1 傅立叶分析 需要用振动的时间历程来求出它的频谱，这称为频谱分析。 傅氏变换的性质 线性系统激励和响应的关系 路面不平引起的的汽车振动 频响函数与单位脉冲响应函数的关系 5-4-2 自谱密度 1.自谱密度的概念 一般说来，我们遇到的随机过程X(t)的样本函数x(t)是非周期的，不能用傅立叶级数来表示。特别是对于平稳过程的样本函数x(t)是始终继续下去的，不满足条件 除非采用特殊措施，否则不能通过对X(t)的傅立叶变换得到该随机过程的频率组成信息。 5-4-2 自谱密度 这个困难可以通过该过程的自相关函数 作傅立叶分析得到解决。其原因是自相关函数能间接的给出包含在随机过程中的频率信息。如果对随机过程X(t)的零点进行调整，使得X(t)的平均值 ，并假定没有周期分量，那么 且条件 得