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长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练 正定矩阵 系 （部）： 信息与计算科学 专 业： 数学与应用数学 学 号：2009031119 学生姓名：陈 娟 成 绩： 　 　　 　 2012 年６ 月 正定矩阵 陈娟 长沙学院 信息与计算科学系, 湖南 长沙, 410022 摘要：矩阵是数学中一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，同时矩阵论又是研究线性代数的一个有力工具，而正定矩阵因其特有的性质及广泛的应用领域使得很多学者对其进行了大量的研究.对伴随矩阵性质作进一步的讨论，给出相关的命题和证明，并利用这些性质对相关问题做出快速简便. 关键词：正定矩阵，伴随矩阵，Murkowski不等式 1引言 文献[1]作者根据正定矩阵的定义，给出其重要的几条等价定义及理论证明.同时，给出正定矩阵的若干性质. 文献[2]作者根据矩阵的伴随矩阵作为一类重要矩阵，无论在矩阵的理论 方面，还是在矩阵的实际应用方面都有很重要的研究意义.同时对伴随矩阵的性质作进一步的讨论，给出相关的命题和证明. 文献[3]作者根据为了丰富矩阵的理论，文中对正定矩阵的Murkowski不等式改作了改进. 2 正定矩阵的概念及性质 定义 设是阶实系数对称矩阵，如果对任何非零向量, 都有 ，就称正定.所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵. 性质 若均为正定矩阵，则，时，为正定矩阵. 证明： 由均为正定矩阵可知 =+=，所以为实对称矩阵， 又因为对任意的，， 则. 故为正定矩阵. 性质 设为正定矩阵，，则，，均为正定矩. 证明：= ，=，0， 只须证明正定，由于为对称矩阵. 因为== ，所以为实对称阵. 而为正定矩阵，故的特征值都大于零. 且的特征值为的特征值的倒数， 即的特征值均大于零，故= 的特征值均大于零. 故，，均为正定矩阵. 性质 设是实对称阵，则存在，，0使得，， 均为正定矩阵. 证明：从特征值的角度人手 ，，的特征值分别为，，，只需让其都大于零即可，而这样的是存在的，为的特征值. 性质 正定矩阵=中元素绝对值最大的一个出现在对角线上， O. 证明：的二阶主子式 0当=时取等号. 时，. 因为绝对值最大的出现在对角线上，否则最大，() 则矛盾. 3伴随矩阵的性质及应用研究 定义 设是矩阵=中元素的代数余子式，矩阵= 称为A的伴随矩阵. 定理 矩阵可逆的充分必要条件是非退化，且= . 推论 ，为阶单位矩阵. 命题 设为阶矩阵，则. 命题 设为阶矩阵，则. 命题 设为阶矩阵，则. 证明：由于 ，可分情况讨论 (1)当时，，则可逆．又由于，对该式两边同时左乘，可得=，将上式中换为，则有. (2)当时，则，，从而，. 综合(1)、(2)，即证. 命题 若 为阶可逆矩阵，则. 证明：，再对两边取逆可得，所以. 又中用换得，所以. 综上可得. 命题 设，均为阶方阵，. 证明： 1)当时，这时，，由公式，可得： ，结论成立. 4 正定矩阵的Murkowski不等式的改进 定理 设，，，，，则存在一组正实数，满足，使得 . 推论 设，，，，，则存在一组正实数，满足，对任意有 . 注意到，. 5 参考文献 [1]郭文婷.与矩阵的伴随矩阵有关的几个技巧[J].长江工程职业技术学院学报，2010，27(3)：78—8O. [2]王莲花，鞠红梅，李珍萍.灰矩阵对角化的变换矩阵及其逆矩阵的求法[J].河南教育学院学报：自然科学版，2010，19(3)：1—4. [3] 张晗方.Holed不等式的推广与杨一张不等式的隔离[J].应用数学学报，1998，2l(3)：423—427. [4] 李衍喜.半正定矩阵的广义Murkowski不等式的隔离[J].数学的实践与认识，2009，39(10)：200—205. [5] 刘建州，谢清明.一个不等式及其在四元数矩阵中的应用[J].湘潭大学自然科学学报，1996，18(1)：29—33. [6] 朱淑花.广义Murkowski不等式的隔离[J].聊城师院学报(自然科学版)，2000，13(2)：22—25.