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例谈中学不等式的证明方法（赵海燕） 普片多 西南大学数学与统计学院，重庆 400715 摘要：本论文就高中不等式，介绍了9种证明不等式的方法，分别是比较法、均值法、判别法、反证法、换元法、函数法、分析法、放缩法、综合法，并通过举例进一步加强对各种方法的理解. 关键字：不等式；综合法；比较法；分析法；反证法 A Talk About the Methods of Proving Inequality of Middle School with Examples Pianduo Pu School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China Abstract：According to the inequality of middle school, this thesis mainly introduces 9 methods with some examples to prove inequality. Those methods consist of comparison method、mean method、discriminant method、analysis method、integration method、magnifying or reducing method 、the method of proofing by contradiction、exchanging element and constructing function. Keyword：inequality；integration method；omparison method；analysis method；proof by contradiction 1. 引言 现实世界中的量有相等关系, 也有不等关系, 凡是与比较量的大小有关的问题, 都要用到不等式的知识。不等式在解决最优优化、最优控制、经济等各类实际问题中有广泛的应用, 它是学习和研究现代科学和技术的一个基本工具。 不等式在中学数学中占有重要地位，因此在历年高考中颇为重视。中学不等式的问题主要有两大类，一类是含未知数的不等式的求解问题；另一类就是不等式的证明问题。所谓证明不等式, 意在推出这个不等式对其中字母的所有允许值都成立或推出数值不等式成立。由于不等式的形式各异, 所以证明没有固定的程序可循，技巧多样，方法灵活因此不等式的证明是中学数学的难点之一。为了突破难点, 我认为有必要对一些常见的证明方法和典型的例题进行一些思考、研究和总结。在多年学习中，我经过反复推敲和研究, 总结了下列诸种行之有效的方法, 现写出来, 希望能为不等式的教学提供一些借鉴。 2. 不等式的证明方法 2.1. 比较法证明不等式 定义：所谓比较法，就是通过两个实数与的差或商的符号（范围）确定与大小关系的方法，即通过“，，；或，，”来确定，大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。 比较法证明不等式的思路：一般对于多项式类和分式类的用作差比较法，对于含有幂指数类的用作商比较法.作差时差值与比较，作商时商与比较。 例1：已知aR,求证： 分析：两个多项式的大小比较可用作差法 证明：3 　 ＝3 ＝ 由知，0, 又二次三项式的首项系数10,判别式， ∴恒成立，， ∴ 点评：此例题用到了比较法的作差法，通过作差变形达到比较的目的。 例2：，求证： 分析：对于含有幂指数类的用作商法 证明： ， 当时，a-b0, ∴ , 当时，a-b=0，∴ 当时，a-b0，∴ ∴时,1，即 点评： 两式均为单项式且均为正时，用商比比较好。 例3：设a0,b0,求证 分析：由于a0,b0，所以求证的不等式的两边的值都大于零，本题用作差法、作商法给出了两种不同证法.作差法有这样的等价情况：而作商法则有： 证法一： 0恒成立，且已知a0,b0, ∴0, ∴ 证法二： 由知， ， ∴ 点评：同样一个题目虽然都用了比较法，但前一种是作差法，第二种是作商法，对此我们要根据需要学会灵活做题。 2.2. 利用均值不等式法 均值不等式公式：①（当且仅当时取“”）； ②（当且仅当时取“”）。 推广： ①（当且仅当=时取“”）； ②当，，为正数时，（当且仅当 时取“”）。 两端的结构、数字具有如下特征： ① 次数相等； ②项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等； ③一边为和一边为积； 当要证的不等式具有上述特征时，考虑用均值不等式证明 例4： 已知a，b，c为不全相等的正数，求证： a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc. 分析：观察要证不等式的两端都是关于a，b，c的3次多项式，左侧6项，右侧6项