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数学分析习题 第一章 实数集与函数 §1 实数 1.设为有理数,为无理数.证明: (1)为无理数; (2)当时,为无理数. 2.试在数轴上表示出下列不等式的解: (1) (2) (3)≥. 3.设证明:若对任何正数有则 4.设证明≥2，并说明其中等号何时成立. 5.证明:对任何有 (1)≥1; (2)≥2. 6.设(表示全体正实数的集合).证明 ≤ 你能说明此不等式的几何意义吗? §2 数集确界原理 1.用区间表示下列不等式的解: (1)≥0; (2) ≤6; (3)( 为常数,且); (4)≥ 2.设为非空数集.试对下列概念给出定义: (1)无上界; (2)无界. 3.试证明由(3)式所确定的数集有上界而无下界. 4.求下列数集的上、下确界,并依定义加以验证: (1) (2) (3) (4) 5.设为非空有下界数集.证明: . §3 函数概念 1.试作下列函数的图象: (1) (2) (3) (4) (5) 2.试比较函数与分别当和时的图象. 3.根据图1-2写出定义在[0,1]上的分段函数和的解析表示式. 4.确定下列初等函数的存在域: (1) (2) (3) (4) 5.设函数 求(1) 6.设函数求 7.试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成: 8.在什么条件下,函数 的反函数就是它本身? §4 具有某些特性的函数 1.证明是上的有界函数. 2.(1)叙述无界函数定义: (2)证明为(0,1)上的无界函数; (3)举出函数的例子,使为闭区间[0,1]上的无界函数. 3.证明下列函数在指定区间上的单调性: (1) 在上严格递增; (2) 在上严格递增; (3) 在上严格递减. 4.判别下列函数的奇偶性: (1) (2) (3) (4) 5.求下列函数的周期: (1) (2) (3) 6.设函数定义在上,证明: (1) 为偶函数; (2) 为奇函数; (3) 可表示为某个奇函数与某个偶函数之和. 总练习题 1.设证明: (1) (2) 2.设和都是D上的初等函数.定义 试问和是否为初等函数? 3.设函数求: 4.已知求. 5.利用函数求解: (1)某系各班级推选学生代表,每5人推选1名代表,余额满3人可增选1名.写出可推选代表数与班级学生数之间的函数关系(假设每班学生数为30~50人); (2)正数经四舍五入后得整数,写出与之间的函数关系. 6.已知函数的图象,试作下列各函数的图象: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 7.已知函数与的图象,试作下列函数的图象: (1) (2) 8.设和为增函数,满足 证明: 9.设和为区间上的增函数,证明第7题中定义的函数和也都是上的增函数. 10.设为上的奇(偶)函数.证明:若在上增,则在上增(减). 11.证明: (1)两个奇函数之和为奇函数,其积为偶函数; (2)两个偶函数之和与积都为偶函数; (3)奇函数与偶函数之积为奇函数. 12.设为D上的有界函数.证明: (1) (2) 13.设为D上的非负有界函数.证明: (1) (2) 14.将定义在上的函数延拓到R上,使延拓后的函数(i)奇函数;(ii)偶函数.设 (1) (2) 15.设为定义在R上以为周期的函数. 为实数.证明:若在上有界,则在R上有界. 16.设在区间I上有界.记 证明 第二章 数列极限 §1 数列极限概念 1.设 (1)对下列分别求出极限定义中相应的N: (2)对可找到相应的N,这是否证明了趋于0?应该怎样做才对; (3)对给定的是否只能找到一个N? 2. 按定义证明: (1) (2) (3) (4) (5) 3.根据例2,例4和例5的结果求出下列极限,并指出哪些是无穷小数列: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 4.证明:若则对任一正数,有 5.试用定义证明: (1)数列不以1为极限;(2)数列发散. 6.证明定理2.1并应用它证明数列的极限是1. §2 收敛数列的性质 1.求下列极限: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2.设且证明:存在正数,使得当时有 3.设为无穷小数列, 为有界数列,证明为无穷小数列. 4.求下列极限: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 5.设与中一个是收敛数列,另一个是发散数列.证明是发散数列.又问和是否必为发散数列? 6.证