選修4-5不等式选讲.pptVIP

[备考方向要明了] 考 什 么 1.了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的内何 意义，并会证明． (1)柯西不等式的向量形式：|α|·|β|≥|α·β|. 怎 么 考 从近几年高考内容上来看，不等式的证明主要考查比较法与综合法．多考查作差法与基本不等式的应用，题目难度不大，属中档题，柯西不等式新课该以来一直没有考查过. 一、比较法 1．求差比较法 知道a＞b?a－b＞0，a＜b?a－b＜0，因此要证明a＞b，只要证明 即可，这种方法称为求差比较法． a－b＞0 二、分析法 从所要证明的 出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法． 三、综合法 从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法即“由因寻果”的方法． 结论 四、放缩法 在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法． 五、反证法的步骤 1．作出否定 的假设； 2．进行推理，导出 ； 3．否定 ，肯定 ． 结论 矛盾 假设 结论 (a1b1＋a2b2)2 2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向 量，则|α||β|≥|α·β|，其中等号当且仅当两个向量 方向相同或相反时成立． 1．综合法与分析法的内在联系． 综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程． 2．放缩法证明不等式的理论依据主要有 (1)不等式的传递性； (2)等量加不等量为不等量； (3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较． 注意：放缩要适度，“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析，多次尝试得出． [精析考题] [例1]　(2011·福建高考)设不等式|2x－1|＜1的解集为M. (1)求集合M; (2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小． [自主解答]　 (1)由|2x－1|＜1，得－1＜2x－1＜1， 解得0＜x＜1，所以M＝{x|0＜x＜1}． (2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1. 所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0, 故ab＋1＞a＋b. 本例条件不变，试比较logm(ab＋1)与logm(a＋b)(m＞0且m≠1)的大小． 解：∵0＜a＜1,0＜b＜1， ∴(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0. 故ab＋1＞a＋b. 当m＞1时，y＝logmX在(0，＋∞)上递增， ∴logm(ab＋1)＞logm(a＋b) 当0＜m＜1时logmX在(0，＋∞)上单调递减， ∴logm(ab＋1)＜logm(a＋b)． [巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！) [冲关锦囊] 比较法证明不等式最常用的是作差法，其基本步骤是 (1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负. [精析考题] [例2]　(2011·安徽高考)(1)设x≥1，y≥1，证明 x＋y＋≤＋＋xy； (2)设1＜a≤b≤c，证明 logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac. [巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！) 4．(2012·南通模拟)设x，y，z为正数，求证：2(x3＋y3＋ z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)． 证明：因为x2＋y2≥2xy≥0， 所以x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)≥xy(x＋y)， 同理y3＋z3≥yz(y＋z)，z3＋x3≥zx(z＋x)， 三式相加即可得2(x3＋y3＋z3)≥xy(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)， 又因为xy(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)＝x2(y＋z)＋y2(x＋z) ＋z2(x＋y) 所以2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)． 2．分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式 时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的