牛顿迭代法解决方案.doc

洛阳师范学院本科毕业论文 PAGE PAGE 15 牛顿迭代法 李保洋 数学科学学院 信息与计算科学 学号：060424067 指导老师：苏孟龙 摘要： HYPERLINK /view/1511.htm \t _blank 牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，即牛顿迭代法.迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程.跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“ HYPERLINK /view/643093.htm \t _blank 牛顿迭代法”属于近似迭代法，本文主要讨论的是牛顿迭代法，方法本身的发现和演变和修正过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，并与中国古代的算法，即盈不足术，与牛顿迭代算法的比较. 关键词：Newton迭代算法；近似求解；收敛阶；数值试验；中国古代数学； 九章算术；方程；非线性方程；收敛速度；渐进性 0 引言： 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“二分法”和“ HYPERLINK /view/643093.htm \t _blank 牛顿迭代法”属于近似迭代法. 　 迭代 HYPERLINK /view/7420.htm \t _blank 算法是用计算机解决问题的一种基本方法.它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值.具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况： 　　(1) 如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制. 　　(2) 方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败. 　　所以利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 　　1、确定迭代变量.在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量. 　　2、建立迭代关系式.所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系).迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成. 3、对迭代过程进行控制，在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件. 1牛顿 HYPERLINK /view/649495.htm \t _blank 迭代法： 牛顿 HYPERLINK /view/649495.htm \t _blank 迭代法(Newton method)又称为牛顿-拉夫逊方法(Newton-Rapfson method)，它是 HYPERLINK /view/1511.htm \t _blank 牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要.方法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根.牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛性，而且该法还可以用来求方程的重根、复根.另外该方法广泛用于计算机编程中： 解非线性方程的牛顿(Newton)法是把非线性的方程线性化的一种近似方法.把的点附近展开泰勒(Taylor）级 ； 取其线性部分作为非线性方程的近似方程，则有： ； 设，则其解为： ； 再把在附近展开泰勒(Taylor)级数，也取其现行部分作为的近似方程.若，则得： ； y x y x O x* x1 x0 ； 牛顿迭代有十分明显的几何意义，如图所示： 当选取初值以后，过做的切线，其切线方程为： ； 求此切线方程