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第五章 随机信号的功率谱估计
功率谱估计的经典和现代方法
AR模型法的功率谱估计
AR模型法的主要性质
Yule-Walker方程的Levinson – Durbin求解算法
格型滤波器
AR模型参数提取算法
噪声对AR谱估计的影响
ARMA和MA模型法简介
白噪声中正弦波频率的估计
1
随机信号不能直接进行傅立叶变换,但平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度之间存在傅立叶变换关系;
随机信号的功率谱与确定信号的频谱作用类似,是随机信号的频域特征分析;
随机信号的功率谱估计在通信系统分析、噪声监测、信号检测、 模式识别、机械故障诊断等领域应用广泛;
依据有限的N个样本观测数据对平稳随机过程的功率谱密度进行估计。
随机信号的谱估计分为:
经典谱估计
现代谱估计
关于信号的频域分析
2
经典谱估计
基本思想:以傅立叶变换为基础,附以平均、加窗、平滑等预处理或后处理;
主要方法:周期图法(B-T法)、间接周期图法;
优点:简单易行、计算效率高;
缺点:存在分辨率低、旁瓣效应、估计精度不高,短数据时更为突出;
适用范围:长数据序列;
相互关系:
二者均等效为进行矩形加窗处理,均可通过加窗函数改善性能;
二者均适合采用FFT算法;
二者存在频率分辨率低的致命缺点,且窗函数改善无效。
3
平稳离散随机信号x(n)的功率谱密度:
x(n)的自相关函数与功率谱密度存在傅立叶变换关系
4
如果随机信号x(n)是各态遍历的,集平均自相关函数可以由一个取样时间序列的时间平均自相关函数替代:
(有偏、渐进无偏)
(无偏估计)
5
自相关法(B-T法)—直接周期图法
1958年,Blackman 和 Tukey提出。先估计信号的自相关函数,再求出信号的功率谱密度估计 :
间接周期图(Periodogram)法:
取样自相关函数实际上是下x(n)与x(-n)的卷和,即
间接周期图法有两种理解:(1)对信号进行加窗处理得xN(n),再进行离散傅立叶变换得X(ω),再求模的平方得功率谱密度;(2)对信号xN(n)进行周期延托,再计算功率谱密度。
6
直接相关法和间接周期图法得到的谱估计相同。
(有偏,渐进无偏)
对x(n)加窗处理:
7
主要缺点:
相关图法主观认为未观测数据都等于0,造成频谱能量的泄漏;
假设数据是以N为周期的周期性延拓,把不真实的信息加于时间序列之上,频率分辨率低。
常用改进方法:
改进数据加窗方法,降低谱的旁瓣泄露:将矩形窗改为其他窗函数,如:汉宁(Hanning)窗 、汉明(Harmming)窗、布拉克曼(Blackman)窗、三角窗(Bartlett)、凯塞窗(Kaiser)等。
对B-T法的相关函数加窗:
8
将长度为N的序列分K段,每段长为M,分别对每段进行谱估计,再进行总平均,得平均周期图(如下图)。
如各段数据相互独立,则所得估计的方差为原来不分段时的 。缺点是点数减少,分辨率进一步恶化。
修正周期图法(分段平均)(Welch,1967)
为改善点数减少恶化频率分辨率的缺陷,常对数据进行交叠分段,并进行功率谱平均,如下图:
9
现代谱估计
数学基础:以随机过程或信号的的参数模型为基础,又称为参数模型法或参数法。
主要发展:
从非工程领域(如实验数据和观测数据的处理、统计学)的时间序列分析到工程领域的现代谱估计;
现代谱估计始于上世纪60年代,主要经历了以下阶段:
线性预测滤波
最大熵谱估计(Burg,1967)
自回归(AR)谱估计方法(1968,Parzen)
Pisarenko谐波分解
多重信号分类算法(MUSIC,1981,Schimit)
HOS方法
10
功率谱估计的参数法(现代谱估计)
11
任何有限方差的广义平稳过程可以分为完全随机的部分和确定的部分,完全随机部分对应的功率谱为连续;
确定的随机过程完全可以通过过去无限个取样值加以预测;
任何ARMA过程或AR过程可以用无限阶的MA过程来表示;任何ARMA过程或MA 过程可以用无限阶的AR过程来表示。
谱分解定理及其推论是参数法谱估计的理论基础
12
功率谱估计的经典和现代方法
AR模型法的功率谱估计
AR模型法的主要性质
Yule-Walker方程的Levinson – Durbin求解算法
格型滤波器
AR模型参数提取算法
噪声对AR谱估计的影响
ARMA和MA模型法简介
白噪声中正弦波频率的估计
第五章 随机信号的功率谱估计
13
AR模型参数估计法的功率谱估计:
基本原理:
根据随机采样样本x(0), x(1) … x(N-1) 估计随机时间序列的功率谱密度:
求解方法(分三步):
模型阶数p不确定时数学上很难处理,因此先假定p,求模型参数。
阶数p已知时,对模型两边同求某种统
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