解线性方程组的迭代法解决方案.doc

解线性方程组的迭代法 Haha 送给需要的学弟学妹 摘要:因为理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的，但是实际情况是否如此，需要我们来具体检验。系数矩阵H为Hilbert矩阵，是著名的病态问题。因而决定求解此线性方程组来验证上述问题。 详细过程是通过用Gauss消去法、J迭代法、GS迭代法和SOR迭代法四种方法求解线性方程组。 关键词：病态方程组、Gauss消去法、J迭代法、GS迭代法、SOR迭代法 目录： 一、问题背景介绍 二、建立正确额数学模型 三、求解模型的数学原理 1、Gauss消去法求解原理 2、Jacobi迭代法求解原理 3、G-S迭代法求解原理 4、SOR迭代法求解原理 5、Jacobi和G-S两种迭代法收敛的充要条件 四、计算过程 （一）Hilbert矩阵维数n=6时 1、Gauss消去法求解 2、Jacobi迭代法求解 3、G-S迭代法求解 4、SOR迭代法求解 （二）Hilbert矩阵维数n=20、50和100时 1、G-S迭代法求解图形 2、SOR迭代法求解图形 五、编写计算程序 六、解释计算结果 1、Gauss消去法误差分析 2、G-S迭代法误差分析 3、SOR迭代法误差分析 G-S迭代法与SOR迭代法的误差比较 七、心得体会 正文： 一、问题背景介绍。 理论的分析表明，求解病态的线性方程组是困难的。实际情况是否如此，会出现怎样的现象呢？ 二、建立正确的数学模型。 考虑方程组的求解，其中系数矩阵H为Hilbert矩阵， 这是一个著名的病态问题。通过首先给定解（为方便计算，笔者取x的各个分量等于1），再计算出右端这样的解就明确了，再用Gauss消去法、J迭代法、GS迭代法和SOR迭代法四种方法分别求解将求解结果与给定解比较，而后求出上述四种方法的误差，得出哪种方法比较好。 三、求解模型的数学原理。 1、Gauss消去法求解原理 对于（A非奇异）求解时，可以先将A分解成一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即，就可以通过 11(.) 求解出的值。 接下来就具体讲讲如何将A分解成L和U，也就是Gauss消去法。 欲把一个给定的矩阵A分解为一个下三角阵L与一个上三角阵U的乘积，最自然的做法便是通过一系列的初等变换，逐步将A约化为一个上三角阵，而又能保证这些变换的乘积是一个下三角阵。这可归结为：对于一个任意给定的向量找一个尽可能简单的下三角阵，使经这一矩阵作用之后的第至第个分量均为零。能够完成这一任务的最简单的下三角阵便是如下形式的初等下三角阵： 其中 即 这种类型的初等下三角阵称作Gauss变换，而称向量为Gauss向量。 对于一个给定的向量我们有 由此立即可知，只要取 便有 当然，这里我们要求 而后经过多次变换可以得到 12(.) 从而求出上三角阵U，而后通过 求得下三角阵 13(.) 将(1.2)和(1.3)带入到(1.1)式中求出的值即可。 2、J迭代法求解原理 考虑非奇异线性代数方程组 令 14(.) 其中 那么(1.4)式和合并后可以写成 其中 15(.) 若给定初始向量 并代入(1.4)式右边，又可得到一个向量；一次类推，有 16(.) 这就是所谓的Jacobi迭代法，其中叫做Jacobi迭代法的迭代矩阵，叫做Jacobi迭代法的常数项。 3、GS迭代法求解原理 注意到Jacobi迭代法中各分量的计算顺序是没有关系的，先算那个分量都一样。现在，假设不按Jacobi迭代格式，而是在计算的第一个分量用的各个分量计算，但当计算的第二个分量时，因已经算出，用它代替，其他分量仍用。类似地，计算时，因都已算出，用它们代替其他分量仍用的分量，于是有 17(.) 我们称这种迭代格式为Gauss-Seidel迭代法，简称为G-S迭代法。它的一个明显的好处是在编写程序是存储量减少了。如果存在，G-S迭代法可以改写成 18(.) 我们把叫做G-S迭代法的迭代矩阵，而把叫做G-S迭代法的常数项。 4、SOR迭代法求解原理 我们知道，G-S迭代法的迭代格式为 现在令则有 19(.) 这就是说，对G-S迭代法来说，可以看作在向量上加上修正项而得到的。若修正项的前面加上一个参数，便得到松弛迭代法的迭代格式 110(.) 用分量形式表示即为 111(.) 其中叫做松弛因子。当时，相应的迭代法叫做超松弛迭代法；当时，叫做低松弛迭代法；当时，就是G-S迭代法。我们把超松弛迭代法简称为SOR迭代法。 因为存在，所以(1.10)式可以改写为 其中 叫做松弛迭代法矩阵。 而SOR迭代法收敛的充要条件是 112(.) 由(1.12)式知，SOR迭代法的谱半径依赖于，当然会问：能否适当