几何中简化运算的策略解决方案.doc

解析几何中简化运算的策略 在解析几何中，方程是刻画曲线性质的代数语言，而曲线又是描绘方程特征的图像语言，数与形的高度统一，使得两者浑然一体，相得益彰.在解决直线与圆锥曲线的问题时，常用方法就是将它们的方程转化为关于或的二次方程来解决，一般过程较繁.其实，相当一部分解几问题的运算量与选择的解题方法有关，只要把握问题本质，精心构思，就可以获得简捷明快的解题方法，不仅简化或避免复杂的运算、提高效率，而且能训练思维、开发智力、增强信心。下面谈谈解几种简化运算的常用策略，供参考。 一．回归定义，彰显本质 我们解决问题，总是希望寻找到最简单又不失本质的原理与方法，而这方面非“定义”莫属。只要对问题进行深刻挖掘，彰显本质，然后利用定义解题，达到巧思妙解。 例1， 设，为圆上的动点，且在线段上，满足，求点的轨迹方程。 解：由想得到在上取点使，即取点，则且， 根据圆的定义知：点的轨迹是以为圆心、半径为1的圆。 所以点的轨迹方程为： 例2．设是抛物线的焦点，直线过交抛物线于两点，点满足条件； （1） 证明：以为直径的圆与抛物线的准线相切 （2） 若是抛物线上一点，且+的最小值为5，求的值。 解：（1）设中点为，分别过点， 作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线定义可知： ， 以为直径的圆与准线相切 （2）过作于，交抛物线于点，则为所求。 ， 代入中， 评注：如果不用抛物线的定义，就势必用点到直线距离公式和两点间的距离公式，如（2）中，在求最小值时，遇到了两个根式函数和的最值问题，相当复杂。 二．应用“点差法”，整体推进 求交点需要解方程组，一般比较麻烦，若设出交点坐标，应用“点差法”或用韦达定理进行整体处理，可以避免求交点，简化运算。 例3. 设椭圆上存在两个不同的点、关于直线对称，试求实数的取值范围。 解：设，则有，两方程做差， 可得：-----（1）， 又设中点为M，则有， 又有代入（1）中得：-----（2） 又在直线上，----（3） 由（2）（3）得即 由于在椭圆里，所以有， 评注：与弦中点有关的问题通常可以设出弦端点的坐标，代入方程后作差，即“点差法”。 “点差法”中，与中点有关，与斜率有关，一箭双雕。 例4.已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。 解：设存在被点平分的弦，且、 则， ， 两式相减，得　 故直线 由　消去，得 这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。 策略：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；（2）若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在。 例5。已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。 解：设椭圆的方程为，则┅┅① 设弦端点、，弦的中点，则 ， ， 又， 两式相减得 即 ┅┅② 联立①②解得， 所求椭圆的方程是 三、动中求静，数形结合 运动是绝对的，静止是相对的。运动变化的事物，其中必有不变的因素，而这不变的因素常常是解决问题的突破口，动中求静是我们解题的一个策略。数无形少直观，形无数难入微，数形结合相得益彰。 例6. 已知直线与直线相交于点，且点在第一象限，求实数的取值范围。 解：动直线经过定点Q（-2，-1），定直线与轴交点分别为. 欲使点在第一象限，必须，即， 评注：动中窥定，再利用几何直观是本题简化运算的关键。而求出交点坐标，再解不等式组，其运算量太大。 例7. 设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，在满足条件①、②的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程。 解： 设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|。 由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°， ∴圆P截x轴所得的弦长为r，故r=2b。 又圆P截y轴所得的的弦长为2，所以有r=a+1。从而得2b-a=1。 又点P(a，b)在双曲线上，要使点到直线的距离最小，只需经过双曲线上的点P(a，b)的切线：与平行， 则应有，解此方程组得或。又由r=2b知r=。 于是，所求圆的方程是(x-1) +(y-1) =2或(x+1) +(y+1) =2。 评注：由于圆的特殊性，所以处理圆的问题应充分利用圆的性质。另外，平行切线法求曲线上的点到定直线距离的最值，很方便，应多加体会。 四．换元引参，迂回向前 根据解题的需要，引入适当的参数或应用曲线（直线）的参数方程，可以将问题进行转化，避开复杂的运算。 例8．过点作直线交轴的正半轴于两点，当最小时，求直线的方程。 解：如图，设（0