滕州一中 王洪濤.pptVIP

三.函数的周期性 函数的周期性如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x) 恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期. 例1 已知函数f ( x )，对任意实数x，有下面四个关系式成立： （1）f ( x ) =－f (x+a)（a为非零常数）； （2）f ( x ) = f (a－x)（a为非零常数）； （3）f (a－x) = f (b－x)（a,b为常数且a2 + b2≠0） 【例题讲解】 （4）f (a－x) =－f (b－x)(a,b为常数且a2+b2≠0） 其中使f ( x )是周期函数的关系式是_______． 【解】考查（1），f ( x )=－f (x+a)说明“两个自变数相差a，则函数值互为相反数”，于是相差2a时，函数值相等： f ( x )=－f (x+a) = f (x+2a) ∴ 等式（1）使f ( x )是周期函数， 且2a是周期； 考查（4），f (a－x) =－f (b－x)表明自变数相差a－b时，函数值互为相反数，于是相差2（a－b）时，函数值相等．故（4）同（1），能使 f ( x )为周期函数，且 2（a－b）是周期． 综上所述，应填（1），（3），（4）． 例3.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－f(x),求证:2m是f(x)的一个周期. 证明：因为f(x＋m)＝－f(x)所以，f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m] ＝－f(x＋m) ＝f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数. 例4.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝f(x－m),求证:2m是f(x)的一个周期. 证明：因为f(x＋m)＝f(x－m)令x－m＝t，则x＋m＝t＋2m于是f(t＋2m)＝f(t)对于t∈R恒成立，所以f(x)是以2m为周期的周期函数. 例5.已知函数f(x)对任意实数x,都有 f(x＋m)＝ ,求证:2m是f(x)的一个周期. 证明：由已知f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]  ＝f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数. 例6.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m) ＝－ ,求证:4m是f(x)的一个周期. 证明：由已知f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m] 于是f(x＋4m) ＝－ ＝ f(x) 所以f(x)是以4m为周期的周期函数. 例7.已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a＋x)＝f(a－x)且f(b＋x)＝f(b－x),求证:2|a－b|是f(x)的一个周期.(a≠b) 证明：不妨设a＞b于是f(x＋2(a－b))＝f(a＋(x＋a－2b)) ＝f(a－(x＋a－2b))＝f(2b－x) ＝f(b－(x－b))＝f(b＋(x－b)) ＝f(x)∴ 2(a－b)是f(x)的一个周期当a＜b时同理可得所以，2|a－b|是f(x)的周期 例8.已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)若f(0)＝2004，求f(2004) 解：因为f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)两式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2)即：f(x＋3)＝－f(x)∴ f(x＋6)＝f(x)f(x)是以6为周期的周期函数2004＝6×334∴ f(2004)＝f(0)＝2004 例9 f (x)是R上的奇函数，且对任何实数x，总有f (x+2)＝－f (x)，且x?[0，1]时，f (x)＝x，则f (x)在R上的解析式为 ． 【解】∵ f (x+2)＝－f (x)， ∴ f (x+4)＝－f (x+2)＝f (x)， ∴ f (x)是周期函数，4是周期． ∵ f (－x)＝－f (x)． ∴ f (x+2)＝f (－x)， ∴ f (x)的图像关于x＝1对称， 由上述这些性质，及x?[0，1]时，y=x， 得知f (x)的图像如下： 例10.已知对于任意a，b∈R，有f(a＋b)＋f(a－b)＝2f(a)f(b)，且f(x)≠0⑴求证：f(