7.1 结的离散化.doc

7.1 结构的离散化 把分析结构离散为子块（有限元）是有限元法的第一步，这相当于用一个具有有限自由度数目的系统来代替具有无限自由度数目的系统.离散的实施基本上是靠工程判断力，在选择单元的形状、尺寸、数量和排列时必须谨慎，以便尽可能精确地模拟原物体，而又不增加求解的计算工作量. 7.1.1基本单元形状 对任一个给定的物体，必须靠工程判断力来选择适当的单元进行离散化.在大多数情况下，单元类型的选择取决于物体的几何形状以及描述系统所需要的独立的空间坐标数.图7-1、图7-2、图7-3分别示出了某些常用的一维、二维和三维单元. 图7-1：一维单元 当几何形状、材料性质和其他参数（如应力、位移）仅需用一个空间坐标描述时，我们就可以采用如图7-1所示的一维单元，虽然这种单元有横截面面积，但一般在示意图中都用线段来表示.在某些问题中，单元的横截面面积可沿长度变化.当问题的几何形状和其他参数可以用二个独立的空间变量来描述时，我们就可以采用图7-2所示的二维单元.二维分析中常用的基本单元是三角形单元.虽然四边形（或其特殊形式矩形或平行四边形）单元可以用二个或四个三角形单元集合而成（如图7-4所示），但在某些情况下用四边形（或矩形，平行四边形）单元仍然是有利的.如果物体的几何形状，材料性质和其他参数可以用三个独立的空间坐标来描述，我们就可以采用图7-3所示的三维单元来离散物体.与二维问题中的三角形单元类似，基本三维单元是四面体单元.在某些情况下用六面 图7-2?? 二维单元 图7-3? 三维单元 图7-4? 由二个或四个三角形单元集合成的四边形单元体单元更有利. 对于某些实际上是三维问题，可以仅用一个或两个独立坐标来描述.对这种问题可以采用图7-5所示的轴对称型或环型单元来理想化各类属于轴对称的问题. 图7-5?? 轴对称单元 对涉及曲线几何形状的问题进行离散时，具有曲边的单元是有用的.具有曲边的典型单元如图7-6所示.通过增加中间结点数可以提高模拟曲边的能力.具有直边的有限元称为线性元，而具有曲边的有限元称为高次元. 图7-6? 具有曲边的有限元 7.1.2离散过程 下面给出在离散过程中应有的各种考虑. 1．单元的类型 通常，应根据物理问题本身来选择单元的类型.例如，如果问题属于分析在给定的一组载荷条下的桁架结构，那么，为了理想化而选用的单元类型显然是如图7-7所示的杆单元或线单元. 图7-7 在对图7-8所示的短梁作应力分析时，可以用三维体单元进行有限元理想化. 但是，在某些情况下，用作理想化的单元类型可能不明显.此时，必须谨慎地选择单元的类型.例如，在分析如图7-9所示的薄壁壳体问题时，可以用几种类型的单元把壳体理想化，此时，需要的自由度数目，预期的精度，容易推导所需的方程以及实际结构可模拟的准确程度将决定理想化所用单元类型的选择. 在某些问题中，给定的物体不能仅用一类单元的集合体表示，此时，可能要用两种或两种以上的单元来理想化，飞机机翼的分析就属这种例子.由于机翼是由上蒙皮和下蒙皮，加筋腹板和凸缘等部分组成.故按图7-10所示的理想化，使用了三种类型的单元，即三角形板单元（用于蒙皮），矩形剪切板（用于腹板）和刚架单元（用于凸缘）. 图7-8 图7-9 承受压力的薄壁壳体 2．单元的尺寸 由于单元的尺寸直接影响解的收敛性，因而必须小心地加以选择.单元尺寸越小，最后的解就越精确.但应当记住，采用小尺寸的单元也就意味着需要更长的计算时间.有时，对同一物体可能要使用不同尺寸的单元.例如，对如图7-11所示的箱形梁做应力分析时，全部单元的尺寸可以几乎相同. 7-10 用不同类型的单元进行机翼的理想化 图7-11 但对如图7-12所示带孔板进行应力分析时就必须用不同尺寸的单元，见图7-12. 孔洞附近（此处存在应力集中）的单元尺寸应远小于远离孔洞的单元尺寸，通常，每当预料会有陡的应力梯度时，在这些区域总是要采用更密的网格. 另一个影响有限元解的与单元尺寸有关的性质是单元的纵横比.纵横比描述了单元的单元集合中的形状，对一个二维单元来说，纵横比取为单元的最长尺寸与最短尺寸之比.纵横比几乎等于1的单元往往能得出最好的结果. 图7-12 3．结点的设置 如果物体在几何形状、材料性质和外部条件（如载荷、温度）方面没有突然变化，则可把物体分为相等的小部分，从而可使结点的间距均匀.另一方面，如果问题存在有任何间断，则显然应当在这些间断处设置结点，见图7-13. 图7-13? 间断处设置的结点 4．单元的数量 为了理想化而选择的单元数量，与所要求的精度，单元尺寸以及所涉及的自由度数目有关.虽然增加单元数量通常意味着有更精确的结果，但对某一个给定问题来说，存在着某个单元数，超过了这个数目，再也不会在有效数上增加精度