2016年高考理数热点题型和提分秘籍专题14定积分与微积分基本定理解决方案.doc

【高频考点解读】 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义； 2.了解微积分基本定理的含义． 【热点题型】 题型一 定积分的计算 【例1】 (1)设f(x)＝x2，x∈[0，1]，2－x，x∈（1，2]，)则02f(x)dx等于(　　) A.34 B.45 C.56 D．不存在 (2)定积分039－x2dx的值为________． (3)－11e|x|dx＝________． 【答案】　(1)C　(2)9π4　(3)2e－2 【解析】　 【提分秘籍】 (1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加． (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． (3)若y＝f(x)为奇函数，则－aaf(x)dx＝0.若f(x)为偶函数，则－aaf(x)dx＝20af(x)dx. 【举一反三】 (1)定积分－11(x2＋sin x)dx＝________． (2)定积分02|x－1|dx＝________． 【答案】　(1)23　(2)1 【解析】　 题型二 利用定积分求平面图形面积 【例2】 如图所示，求由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点A(0，－3)和点B(3，0)处的切线所围成图形的面积． 【解析】【提分秘籍】 利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：(1)画出图形；(2)确定被积函数；(3)确定积分的上、下限，并求出交点坐标；(4)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．求解时，注意要把定积分与利用定积分计算的曲线围成图形的面积区别开：定积分是一个数值(极限值)，可为正，可为负，也可为零，而平面图形的面积在一般意义上总为正． 【举一反三】 (1)如图所示，曲线y＝x2和直线x＝0，x＝1及y＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为(　　) A.23 B.13 C.12 D.14 (2)曲线y＝x2与直线y＝kx(k0)所围成的曲边图形的面积为43，则k＝________． 【答案】　(1)D　(2)2 【解析】　 题型三 定积分在物理中的应用 【例3】 一物体作变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在12 s～6 s间的运动路程为________． 【答案】　494 m 【解析】 【提分秘籍】 定积分在物理中的两个应用：(1)求物体做变速直线运动的位移，如果变速直线运动物体的速度为v＝v(t)，那么从时刻t＝a到t＝b所经过的路程s＝abv(t)dt.(2)变力做功，一物体在变力F(x)的作用下，沿着与F(x)相同方向从x＝a移动到x＝b时，力F(x)所做的功是W＝abF(x)dx. 【举一反三】 设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x＝1运动到x＝10，已知F(x)＝x2＋1的方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为________J(x的单位：m，力的单位：N)． 【答案】　342 【解析】　由题意知变力F(x)对质点M所做的功为 110(x2＋1)dx＝\a\vs4\al\co1(\f(13)x3＋x)101)＝342(J)． 【高考风向标】 【2015高考陕西，理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ． 【答案】1.2 【解析】建立空间直角坐标系，如图所示： 【2015高考湖南，理11】 . 【答案】0. 【解析】. 【2015高考天津，理11】曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】 【解析】在同一坐标系内作出两个函数的图象，解议程组得两曲线的交点坐标为，由图可知峡谷曲线所围成的封闭图形的面积 . （2014·福建卷） 如图1-4，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________． 图1-4 【答案】.2e2　 【解析】（2014·湖北卷） 若函数f(x)，g(x)满足－11f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数，给出三组函数： ①f(x)＝sin12x，g(x)＝cos12x；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2. 其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C　 【解析】（2014·湖南卷） 已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且 ∫2π30f(x)dx＝0，则函数f(x)的图像的一条对称轴是(　　) A．x＝5π6 B．x＝7