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第二章 条件概率与独立性 第一节 条件概率与事件独立性 例 假设有一批灯泡共 个，其中有 个是合格品，有 个是甲厂生产的， 在甲 厂生产的 个灯泡中有 个是合格品。 从 个灯泡中随机地取一个，设 =“取得合格品”， =“取得甲厂生产” 一．条件概率 定义：设 为二个事件， 发生的情况下，事件 发生的条件概率为 ，且 记在事件 例1 考察掷两颗骰子的试验。已知两颗 骰子出现点数之和为7，求其中有一个 是3点的概率。 乘法定理：设 则 P19 例2-3 一批零件共100件，其中有10件是次品，每次从中任取一件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得合格品的概率。 例2 在空战中，甲机先向乙机开火，击落 乙机的概率为0.2 ；若乙机未被击落，就进 行还击，击落甲机的概率为0.3 ；若甲机也未被击落，则再进行攻击，击落乙机的概率为0.4 。求在这几个回合中，甲机被击落的概率和乙机被击落的概率。 二．事件独立性 1．两个事件的独立性 P20 例2-4 袋中有a只黑球和b只白球，采取有放回摸球，陆续取出两球，求 （1）在已知第一次摸出黑球的条件下， 第二次摸出黑球的概率； （2）第二次摸出黑球的概率。 定义： 例3 掷一枚硬币和一颗骰子。定义 =“硬币出现正面”， =“骰子出现奇数点” 讨论事件 的独立性。 例4 一个家庭中有若干个小孩，假定生 男生女是等可能的，令 =“一个家庭中有男孩又有女孩” =“一个家庭最多有一个女孩” （1）家庭中有两个小孩， （2）家庭中有三个小孩。 对上述2种情况，讨论事件 的独立性。 讨论 和 性质：若 独立， 则 2．多个事件的独立性 先讨论三个事件独立要满足什么条件。 定义：设有 若 其中 则称 否则称为不独立。 相互独立， 例5 设随机试验中，某一事件 出现的 概率为 ，证明：不论 多么小， 只要不断地，独立地重复做此试验，则事件 迟早会发生的概率为1。 性质：设 相互独立，则 P23 例2-9 第二节 全概率公式和贝叶斯公式 例1 有外形相同的球分装在三个盒子中，每 盒10个。其中第一个盒子中7个球标有字母 A ,3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中有红球8个，白球 2个。试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在 第二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母B的球，则在第三个盒子中任取一个球。如果第二次取出的是红球，则称试验为成功，求试验成功的概率。 定义：设 满足 则称 为 的一个分割。 全概率公式：设 为 的一个分割， 为任一事件，则 例2 某工厂有四条流水线生产同一种产品， 该四条流水线的产量分别占总产量的15%， 20%，30%和35%，又这四条流水线的次品率依次为0.05，0.04，0.03及0.02。现在从出厂产品中任取一件，求抽到的产品是次品的概率。 若该厂规定，出了次品要追究有关流水线 的经济责任。现在出厂产品中任取一件， 结果为次品，但该件产品是哪一条流水线生产的标志已经脱落，问四条流水线各应承担多大责任？ 贝叶斯公式：设 为 的一个分割， 为任一事件，且 则 例3 在电报通讯中，发送端发出的是由“。” 和“—”两种信号组成的序列，而由于随机干扰的存在，接收端收到的是由“。”，“不清”和“—”三种信号组成的序列。信号“。”，“不清”和“—”分别简记为0，x，1。假设已知发送0和1的概率分别为0.6和0.4；在发出 0的条件下，收到0，x和1的条件概率分别为0.7，0.2和0.1；在发出1的条件下，收到 0，x和1的条件概率分别为0，0.1和0.9。试分别计算在接收信号为x（不清）的条件下，原发出信号为0和1的条件概率。 第三节 贝努利概型 定义：有一随机试验，观察事件A发生与否， 将此试验独立地重复进行n次，则称此模型为n重贝努利概型。 求在n次独立试验中事件A发生k次的概率。 例1 某车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动机功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开动12分钟，且开动与否是相互独立。现因当地电力供应紧张，供电部门经研究只提供50千瓦的电力给这10台机床，问这10台机床能够正常工作的概率。 P28 例2-14 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛。如果每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，比赛可以采用三局二胜制或五局三胜制，问在哪一种比赛制度下甲获胜的可能性较大？ 解：我们必须假定各局比赛结果相互独立 （1）采用三局二胜制 P33 习题9 设 P33 例10 设 P33 习题7 P33 习题11 辅导用书P46 习题3