第二章 矩陣及其运算.pptVIP

第二章 矩阵及其运算 矩阵概念 矩阵运算 特殊矩阵 逆矩阵 分块矩阵 初等矩阵 矩阵的秩 矩阵的基本概念 一. 历史 “矩阵 (matrix)” 这个 词首先是英国数学家 西尔维斯特使用的. 他为了将数字的矩形 阵列区别于 行 列 式 (determinant)而发明 了这个述语. 英国数学家凯莱 被公认为是矩阵 论的创立者. 他首先把矩阵作为 一个独立的数学概 念, 并发表了一系 列关于这个题目的 文章. 例1. 某厂家向A, B, C三个商场发送四款产品. 甲 乙 丙 丁 单价 重量 二. 实例 例2. 四个城市间的单向航线如图所示. 若用aij表示从i市到j市航线的条数, 则上图信息可表示为 三. 定义 1. m?n矩阵 元素(element/entry) aij (1 ? i ? m, 1? j ? n) 注: 今后除非特别说明, 我们所考虑的矩阵都 是实矩阵. 元素都是实数——实矩阵(real ~) 元素都是复数——复矩阵(complex ~) 3. 向量(vector) 行向量(column vector) [a1, a2, …, an] 列向量(row vector) 第i分量 (ith component) ai (i = 1, …, n) n阶方阵: n?n矩阵 2. 方阵(square matrix) 见例2. 一个1?1的矩阵 就是一个数 4. 同型(same-sized): 行数相等, 列数也相等 5. 两个矩阵相等(equal) 与 同型 与 不同型 A = [aij]m?n与B = [bij]m?n相等: 对?1? i ? m, 1? j ? n, aij = bij都成立 记为A = B. 大前提: 同型 1. 矩阵的加法 一、矩阵运算 （1） （2） （3） 由此可规定矩阵的减法为 2. 数与矩阵相乘 规定为 （1） （2） （3） （4） （5） 3. 矩阵的乘法 其中 例1 求 解 显然 解 例2 例3 解 例如： 即矩阵的乘法不满足交换律． 不难验证： 结合律和分配律： （1） （2） （3） 令 利用矩阵的乘法，则上述线性变换可写成矩阵形式: 利用矩阵的乘法和矩阵乘法的结合律，可以方便地连续施行线性变换． 例5 已知两个线性变换 解 上述两个线性变换的系数矩阵分别为 记 则上述两个线性变换可分别写成为 : 于是 即 即 由于矩阵的乘法适合结合律， 所以方阵的幂满足： 4. 方阵的幂 （1） （2） 则 n阶单位矩阵 其中 例6 设 求 解 因为 用数学归纳法，设 则 故 二. 特殊矩阵 单位矩阵 特点： 从左上角到右下角的直线（即主对角线）上 结论： 形如 记作 特点：主对角线上以外的元素全是零． 对角矩阵 性质： （1） （2） （3） （4） 特别地，主对角线上元素都相等的对角矩阵 称为数量矩阵 即 记作 则 解 其中 显然 定理得到 形如 的矩阵称为上三角矩阵 特点：主对角线的左下方的元素全为零． 3.三角矩阵 直接验证可知 类似地，我们同样可以定义下三角矩阵， 也就是：主对角线右上方的元素全为零 矩阵，它具有与上三角矩阵类似性质． 例如 ： 性质： （1） （2） （3） （4） 4.转置矩阵 证 性质（1）－（3）是显然的，这里仅给 出（4）的证明. 设 记 于是按矩阵乘法的定义，有 由（4），根据数学归纳法可证 特点： 对称矩阵的元素以主对角线为对称轴对应相等 该矩阵主对角线上的元素全为0. 对称矩阵和反对称矩阵 反对称矩阵 对称矩阵 形式： 例2 是对称矩阵. 是一阶方阵，即一个数， 基本性质： 6.方阵乘积的行列式 于是 类似地， （2）由（1）且根据本节定理1可知 三. 逆矩阵 使 解 因为 所以 否则称为奇异矩阵． 可逆矩阵就是非奇异矩阵．同时，定理也提供了一种求逆矩阵的方法——伴随矩阵法． 由本章第二节例知， 因为 故有 所以，按逆矩阵的定义，即有 证 必要性. 使 充分性. 这时 运算规律 解 而 类似可得 从而 所以 所以 1.概念 例如：对于矩阵 四、分块矩阵 可记为 对上述第一种分法 2.分块矩阵的运算 则 （3）分块矩阵的乘法 其中 则 （4）分块矩阵的转置 设矩阵A可写成分块矩阵 （5）分块对角矩阵 设 等于多少呢？ 例1 设矩阵 解 令 则 所以 由于 解 令 有 于是 解此得 所以 上式可以作为公式应用. 矩阵按行分块和按列分块 这里列向量（列矩阵）常用小写黑体字母表示 而行向量（行矩阵）则用列向量的转置表示 注： 同理也可以按列分块，此时 对于