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第二章 逻辑代数基础 第一节 逻辑代数 逻辑代数是由逻辑变量集K，常量0、1，“与”、“或”、“非”三种运算构成的代数系统。 一、逻辑变量 逻辑变量集指逻辑代数中所有可能变量的集合，它可用任何字母表示，但每个变量的取值只可能为常量0或1，表示两种状态。 二、逻辑运算 1、或运算 符号“+”，L=A+B 真值表： A B L 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 2、与运算 符号“?”，L=A?B 真值表： A B L 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 3、非运算 符号“ ”，L=A 真值表： A L 0 1 1 0 4、或非运算 L=A+B 真值表： A B L 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 5、与非运算 L=A?B 真值表： A B L 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 6、与或非运算 L=（A?B）+（C?D） A B C D L A B C D L 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 7、异或运算 符号“⊕ ”，L = A ⊕B = AB+AB 真值表： A B L 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 注意：先“非”后“与”最后“或”；先括号内再括号外；同种逻辑运算符号按从左到右的顺序。 三、 逻辑函数 1、定义 设某一逻辑网络的输入逻辑变量为 A1，A2，……，An，输出逻辑变量为F，当 A1，A2，……，An的取值确定后，F的值就惟一确定。则称F是A1，A2，……An的逻辑函数。记为：F=f（A1，A2，……，An） 逻辑网络 A1 An A2 … F （1）逻辑表达式 逻辑表达式是由逻辑变量和“与”“或”“非”三种运算符构成的式子。 如：F=f（A，B）=AB+AB 2、逻辑函数的表示法 （2）真值表 由逻辑变量的所有可能取值组合及其对应的逻辑函数所构成的表格。 A B F 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 （3）卡诺图 由逻辑变量的所有可能组合的小方格构成的图形。 例. 表达式：F=AB+AC+ABC A B C F 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 AB C 00 01 11 10 0 1 真值表： 卡诺图： 第二节 逻辑代数的公理 定理 常用公式 2.1 公理 （1）0-1律 A+0=A A+1=1 A?0 =0 A ?1=A （2）重叠律 A+A=A A?A =A （5）交换律 A+B=B+A A?B =B?A （6）结合律 （A+B）+C=A+（B+C） （A?B）? C=A?（B?C） （7）分配律 （A+B）?C=A?C+B?C A+（B? C）=（A+B）?（A+C） 2.2定理 定理1：德?摩根定理 （1）（X1+X2+……+Xn） = X1?X2?……?Xn （2）（X1?X2?……?Xn） = X1+X2+……+Xn 叙述：n个逻辑变量的“或”的“非”等于各个逻辑变量的“非”的“与”； n个逻辑变量的“与”的“非”等于各逻辑变量的“非”的“或”。 定理2：香农定理（反演规则） f（X1，X2，……，Xn，0，1，+，?）= f ( X1,X2,……，Xn，1，0，?，+) 叙述：任何函数的反函数，可对该函数的所有变量取反，并将常量1换为0，0 换为1，“?”换为“+”，“+”换为“?”运算而得。 定理3：对偶定理 对偶定义： f ’（X1，X2，……，Xn，0，1，+，?）= f（X1，X2，……，Xn，1，0，?，+） 叙述：逻辑函数f(X1，X2，……，Xn，0，1，+，?)，若把该函数中的“?”换为“+”，“+”换为“?”，0换为1，1换为0，而变量保持不变，则所得函数称原函数