第二章函數、导数及其应用.pptVIP

[备考方向要明了] 考 什 么 1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函 数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数 一般不超过三次)． 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数 一般不超过三次). 怎 么 考 1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点． 2.选择题、填空题侧重于利用导数确定函数的单调性和极 值．解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列 的综合应用，一般难度较大，属中高档题. 一、函数的单调性与导数 1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与其导数的正负 有如下关系： (1)若 ，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)若 ，则f(x)在这个区间内单调递减； (3)若 ，则f(x)在这个区间内是常数． f′(x)0 f′(x)0 f′(x)＝0 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤． (1)求 ； (2)在定义域内解不等式 ； (3)根据结果确定f(x)的单调区间． f′(x) f′(x)0或f′(x)0 二、函数的极值与导数 1．函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． f′(x)＜0 f′(x)＞0 2．函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． f′(x)＞0 f′(x)＜0 解析：∵f′(x)＝3x2＋2ax＋3，f′(－3)＝0， ∴a＝5. 答案：D 1．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值， 则a等于 (　　) A．2　　　　　　　　　　 B．3 C．4 D．5 2．(教材习题改编)函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上是(　　) A．增函数 B．减函数? C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减 D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增 解析：f′(x)＝1－cos x0，∴f(x)在(0,2π)上递增． 答案： A 3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)， 导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图 所示，则函数f(x)在开区间(a，b) 内有极小值点 (　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：若f′(x)0，则f(x)单调递增；若f′(x)0，则f(x)单调递减． 极小值点应有先减后增的特点，即f′(x)0→f′(x)＝0→f′(x)0.由图象可知只有1个极小值点． 答案： A 4．(教材习题改编)函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减 区间为________． 解析：f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)， 当－1x11时，f′(x)0，f(x)单调递减． 答案： (－1,11) 5．已知a0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函 数，则a的最大值是________． 解析：f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0， 则f′(1)≥0?a≤3. 答案： 3 1．f′(x)0与f(x)为增函数的关系：f′(x)0能推出f(x)为增 函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单 调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)0是f(x)为增函数的充分 不必要条件． 2．可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0 的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处有y′|x＝0＝0，但x＝0不是极值点． 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点． [例1]　(2011·