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中考数学专题讲座 直角坐标下通过几何图形列函数式问题 【知识纵横】 以平面直角坐标系为背景，通过几何图形运动变化中两个变量之间的关系建立函数关系式，进一步研究几何图形的性质，体现了数形结合的思想方法。但在坐标系中，每一个坐标由一对的序实数对应，实数的正负之分，而线段长度值均为正的，注意这一点，就可类似于讲座一的方法解决。所列函数式有：反比例函数、一次函数、二次函数。 【典型例题】 【例1】（黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴的正半轴上，且满足． （1）求点，点的坐标． （2）若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线运动，连结．设的面积为，点的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（1）注意坐标值与线段长度关系； （2）求得（3）分类讨论。 【例2】（广东东莞）将两块大小一样含30°角的直角三角板，叠放在一起，使得它们的斜边AB重合，直角边不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC与BD相交于点E，连结CD． (1)填空：如图1，AC= ，BD= ；四边形ABCD是 梯形. (2)请写出图1中所有的相似三角形（不含全等三角形）. (3)如图2，若以AB所在直线为轴，过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10 的平面直角坐标系，保持ΔABD不动，将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置，FH与BD相交于点P，设AF=t，ΔFBP面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值值范围. 图1 【思路点拨】（2）有9对相似三角形. ；（3）用t的变量表示相关线段，利用面积公式计算，注意自变量的取值范围。 【例3】（河北）如图，直角梯形中，∥,为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点坐标为（2，2），∠= 60°，于点.动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.设点运动的时间为秒. （1） 求的长； （2） 若的面积为（平方单位）. 求与之间的函数关系式.并求为何值时， 的面积最大，最大值是多少？ （3） 设与交于点.①当△为等腰三角形时，求（2）中的值. ②探究线段长度的最大值是多少，直接写出结论. 【思路点拨】（3）若为等腰三角形，分三种情况 讨论，再进行比较，从而求出线段长的最大值。 图 【例4】（（甘肃兰州）如图1，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，． （1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求两点的坐标； （2）如图2，若上有一动点（不与重合）自点沿方向向点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒（），过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．求四边形的面积与时间之间的函数关系式；当取何值时，有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的条件下，当为何值时，以为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点的坐标． 【思路点拨】（1）折痕是四边形的对称轴 （2）四边形为矩形． （3）为等腰三角形分类讨论。 【学力训练】 1、(诸暨中学)如图，点A在Y轴上，点B在X轴上，且OA=OB=1，经过原点O的直线L交线段AB于点C，过C作OC的垂线，与直线X=1相交于点P，现将直线L绕O点旋转，使交点C从A向B运动，但C点必须在第一象限内，并记AC的长为t，分析此图后，对下列问题作出探究： （1）当△AOC和△BCP全等时，求出t的值。 （2）通过动手测量线段OC和CP的长来判断它们之间的 大小关系？并证明你得到的结论。 （3）①设点P的坐标为（1,b）,试写出b关于t的函数 关系式和变量t的取值范围。②求出当△PBC为等腰三角形时点P的坐标。 2、 ( 湖北天门)如图①，在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，0)，B点坐标为(0，4)．动 点M从点O出发，沿OA方向以每秒1个单位长度的速度向终点A运动；同时，动点N从点A出发沿AB方向以每秒个单位长度的速度向终点B运动．设运动了x秒． (1)点N的坐标为(________________，________________)；(用含x的代数式表示) (2)当x为何值时，△AMN为等腰三角形？ (3)如图②，连结ON得△OMN，△OMN可能为正