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第二节 可测函数的收敛性 第四章 可测函数 一. 几乎成立的命题 如：狄利克雷函数是几乎连续的，但不是几乎处处连续. 二. 可测函数列的几种收敛定义 注：近似地说一致收敛是函数列 收敛慢的程度能有个控制 近似地说一致连续是函数图 象陡的程度能有个控制 ⑶几乎处处收敛: 记作 (almost everywhere） 即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛 即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛 ⑸依测度收敛: 记作 注：从定义可看出， 几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零测度集外） 依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要点在于误差超过σ的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零，而不论点集的位置状态如何 不依测度收敛 三.可测函数各种收敛之间的关系 1. 几乎处处收敛与几乎一致收敛的关系 注: 定理1表明几乎一致收敛比几乎处处收敛强 证明： 例：函数列fn(x)=xn 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛， 但去掉一小测度集合 (1-δ,1),在留下的集合 上一致收敛 收敛的联系（叶果洛夫定理的引入） 定理2： (叶果洛夫(Egoroff)定理) 证明：首先证明一个引理. 引理： 证明这个引理要用到下面的结论 下面证明引理 下证 Egoroff 定理 注： 如： 结合定理1和定理2，我们有下面结论 结论： 注：这个结论也为后面的L积分与极限交换只要求函数列几乎处处收敛提供了理论基础，也进一步说明L积分比R积分优越. 2. 几乎一致收敛与依测度收敛的关系 证明： 注: 定理3表明几乎一致收敛比依测度收敛强 3. 几乎处处收敛与依测度收敛的关系 定理4： (黎斯(Riesz)定理) 注: 黎斯定理只是说明依测度收敛的函数列存在几乎处处收敛的子函数列，并不能保证整个函数列几乎处处收敛，而且我们完全可以找到一个依测度收敛但不是几乎处处收敛的函数列. 如教材P92 Riesz定理的证明 定理5：（Lebesgue定理） 证明： 由定理2和定理3即得 叶果洛夫逆定理 (Egoroff定理) 存在几乎一致收敛的子列 (Lebesgue定理) 存在几乎处处收敛的子列 (Riesz定理) 总结：三种收敛之间的关系，可以列出图表如下：