2002年考研数学三真题和详细解析.doc

2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及解析 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) ⑴ 设常数，则. 【分析】将所求极限转换为，利用等价无穷小代换化简求解，或利用重要极限。 【详解】法一： 法二： ⑵ 交换积分次序：. 【分析】写出对应的二重积分积分域的不等式，画出的草图后，便可写出先对后对的二次积分 【详解】对应的积分区域，其中 画出的草图如右图所示，则也可表示为 故 ⑶ 设三阶矩阵，三维列向量。已知与线性相关，则。 【分析】由与线性相关知，存在常数使得，及对应坐标成比例，由此求出 【详解】由于 由与线性相关可得：，从而。 ⑷ 设随机变量和的联合概率分布为 Y 概率 X 0 0.07 0.18 0.15 1 0.08 0.32 0.20 则和的协方差。 【分析】本题主要考查利用随机变量和的联合概率分布求简单函数的概率分布、利用数学期望的定义求随机变量的数学期望、协方差的计算等。 【详解】法一：由题设可得 ， ， ， ， 从而 ， ， 故 法二：由题设可得 ， ， 从而， 故 评注：的定义，通常按公式计算；的定义，但通常按公式 计算 ⑸ 设总体的概率密度为 而是来自总体的简单随机样本，则未知参数的矩估计量为 【分析】根据矩估计的定义计算即可. 【详解】由于 根据矩估计量的定义,满足的即为的矩估计量,因此 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) ⑴ 设函数在闭区间上有定义，在开区间内可导，则 （A）当时，存在，使 （B）对任何，有 （Ｃ）当时，，使 （Ｄ）存在，使 【分析】本题主要考查零点定理、微分中值定理的理解及函数连续的概念。 【详解】由于函数在闭区间上有定义，在开区间内可导，只能说明在开区间内连续且可导，不能保证函数在闭区间上连续，从而零点定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件不满足，从而不一定必有相应结论，所以（A）、（C）、（D）三选项都错； 由于可导必定连续，从而在开区间内连续，所以对任何，有，从而应选（Ｂ） ⑵　设幂级数与的收敛半径分别为与，则幂级数的收敛半径为 （Ａ）　　　　　　　（Ｂ）　　　　　　　（Ｃ）　　　　　　　　（Ｄ） 【分析】本题借用加强法来完成，即假设与都存在。 【详解】假定所给幂级数的收敛半径可以按公式计算，则由题设知： 　　　　　　　　，　　　　 从而 所以应选（A）。 评注：已知幂级数的收敛半径为，未必有；当幂级数的收敛半径为，且存在时，才有。　　　　　　　　　　 ⑶　设是矩阵，是矩阵，则线性方程组 （Ａ）当时仅有零解　　　　　　　 （Ｂ）　当时必有非零解 （Ｃ）当时仅有零解　　　　　　　　 （D）当时必有非零解 【分析】根据齐次线性方程组有非零解的充要条件判定。 【详解】齐次线性方程组有非零解的充要条件是。而当时 所以当时线性方程组必有非零解。故应选（D)。 评注：涉及齐次线性方程组解的判定问题，均可转化为系数矩阵秩的分析。 ⑷ 设是阶实对称矩阵，是阶可逆矩阵。已知维列向量是的属于特征值的特征向量，则矩阵属于特征值的特征向量是 （A） （B） （C） （D） 【分析】本题主要考查特征值与特征向量的关系以及矩阵的基本性质。利用特征值的定义检验。 【详解】由已知，于是 ， 又由，可得，可见矩阵属于特征值的特征向量是。 故应选（B) ⑸ 设随机变量和都服从标准正态分布，则 （A）服从正态分布 （B）服从分布 （C）和都服从分布 （D）服从分布 【分析】主要考查正态分布的性质及分布、分布的定义。利用服从标准正态分布的随机变量的性质及服从分布、分布的随机变量的表达式对选项逐一检验，直到得到正确的选项。 【详解】由于和不一定相互独立，故（A）、（B）、（D）不一定成立。由于随机变量和都服从标准正态分布，所以和都服从分布。故应选（C）。 三、（本题满分5分） 求极限 【分析】考查未定式极限及变上限函数求导数。对分母使用等价无穷小代换，然后利用洛必达法则。 【详