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第二節 换元积分法
第二节 换元积分法
一、第一类换元积分法
二、第二类换元积分法
一、第一类换元法
例1
综合上述分析,此题的正确解法如下:
解
定理4.2
根据不定积分的定义,则有
公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式,应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法.
例2 求
例3 求
用第一换元积分法求不定积分的步骤是:
上述过程可表示为
例4 求
还应注意到,在换元—积分—还原的解题过程中,关键是换元,若在被积函数中作变量代换 还需要在被积表达式中再凑出 即 也就是 ,这样才能以u为积分变量作积分,也就是所求积分化为
在上述解题过程中u可不必写出,从这个意义上讲,第一换元积分法也称为“凑微分”法.
例5 求
例6 求
例7 求
用凑微分法计算不定积分时,熟记凑微分公式是十分必要的,以下是凑微分公式(在 下列各式中,a,b均为常数,且 ) :
例8 求
例9 求
例10 求
类似地,有
例11 求
第一换元积分法还适合求一些简单的三角有理式
的积分.如计算形如:
的积分,可分两种情况:
例12 求
例13 求
还需说明的是,计算某些积分时,由于选择不同的变量代换或不同的凑微分形成,所以求出的不定积分在形式上也可能不尽相同,但是它们之间至多只相差一个常数项,属于同一个原函数族.
例14 求
二、第二类换元积分法
例15 求
定理4.3 设f(x) 连续, 及 均连续,且 ,并设 为 的反函数,若φ(t)是 一个原函数,即
则
例16 求
例17 求
第二换元积分法求不定积分时,可按以下步骤进行
例18 求
例19 求
例20 求
例18—例20中的解题方法称为三角代换法或三角换元法.
一般的说,应用三角换元法作积分时适用于如下情形:
补充的积分公式:
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