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第二节 排列组合 基础梳理 排列与排列数 组合与组合数 定义 1. 排列的概念：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素, ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2. 排列数的概念：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示. 3. n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，即 ， 称为n的 ,通常用n!表示. 1. 组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素 ，叫做从n个不同元素中取出m个不同元素的一个组合. 2. 组合数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号Cmn表示. 按照一定的顺序排成一列 所有排列的个数 阶乘 并成一组 所有组合的个数 典例分析 题型一 排除法 【例1】从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有种. 分析 逆向思考，“这3人中至少有1名女生”的否定为“这3人中没有女生”. 学后反思 关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便.即用总的方案数减去“至少”的否定的方案数.同时要注意： “至少一个”的否定为“一个没有”; “至多一个”的否定为“至少两个”; “至少N个”的否定为“至多N-1个”; “至多N个”的否定为“至少N+1个”. 举一反三 1. (2009·全国Ⅱ改编)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有种. 答案： 30 题型二 基本排列问题 【例2】从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有种（用数字作答）. 学后反思 解决某些特殊元素不能排在某些特殊位置的排列问题，主要方法是将这些特殊元素排在其他位置，或将其他非特殊元素排在这些特殊位置来进行解决. 举一反三 2. （2008·全国改编）如图，一环形花坛分成A,B,C,D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为 . 答案： 84 题型三 有限制条件的排列 【例3】有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？ (1)甲不在中间也不在两端； （2）甲、乙两人必须排在两端； （3）男、女生分别排在一起； （4）男女相间. 分析 这是一个排列问题，一般情况下，我们会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置讨论起.对于相邻问题，常用“捆绑法”；对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）；对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”（特殊元素先考虑）. 学后反思 本题集排列的多种类型于一题，充分体现了元素分析法（优先考虑特殊元素）、位置分析法（优先考虑特殊位置）、直接法、间接法（排除法）、捆绑法、等机会法、插空法等常见的解题思路. 举一反三 3. (2007·全国改编)从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有种. 答案： 60 题型四 基本组合问题 【例4】（14分）有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.选派5名外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1名参加； （4）既要有队长，又要有女运动员. 分析 （1）分步.（2）可分类也可用间接法.（3）可分类也可用间接法.（4）分类. 学后反思 解组合题时，常遇到至多、至少问题，可用直接法分类求解，也可用间接法求解以减少运算量.当限制条件较多时，要恰当分类，逐一满足. 举一反三 4. (2009·辽宁改编)从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有种. 答案： 70 易错警示 【例】有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？ 错解分析 错解中没有考虑3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法. 考点演练 10. (2009·湖北改编)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，求不同分法的种数. 11. （1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？