江苏省南通市2010届高三第一次调研考试(数学).doc

南通市2010届高三第一次调研考试 数学 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 已知集合U={1, 2, 3, 4}，M={1, 2}，N={2, 3}，则(M∪N) = ▲ ． 2．复数（i是虚数单位）的虚部为 ▲ ． 3．设向量a，b满足：，，则 ▲ ． 4．在平面直角坐标系xOy中，直线与直线互相垂直的充要条件是m= ． 5．函数的最小正周期是 ▲ ． 6．在数列{an}中，若对于n∈N*，总有＝2n－1，则= ▲ ． 7．抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则为整数的概率是 ▲ ． 8．为了解高中生用电脑输入汉字的水平，随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测试，下图是根据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图，其中每分钟输入汉字个数的范围是[50，150]，样本数据分组为[50，70），[70，90）， [90，110），[110，130），[130，150]，已知样本中每分钟输入汉字个数小于90的人数是36，则样本中每分钟输入汉字个数大于或等于70个并且小于130个的人数是 ▲ ． 9．运行如图所示程序框图后，输出的结果是 ▲ ．/ 10．关于直线和平面，有以下四个命题： ①若，则；②若，则； ③若，则且；④若，则或. 其中假命题的序号是 ▲ ． 11．已知函数若，则实数a的取值范围是 ▲ ． 12．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的 四边形是一个面积为4的正方形，设P为该椭圆上的动点，C、D的坐标分别是，则PC·PD的最大值为 ▲ ． 13．设面积为S的平面四边形的第i条边的边长记为ai（i=1，2，3，4），P是该四边形内任意一点，P点到第i条边的距离记为hi，若, 则.类比上述结论，体积为V的三棱锥的第i个面的面积记为Si（i=1，2，3，4），Q是该三棱锥内的任意一点，Q点到第i个面的距离记为Hi，则相应的正确命题是：若,则 ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy中，设直线和圆相切，其中m，，若函数 的零点，则k= ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C所对的边，且b2=ac，向量和满足.（1）求的值；（2）求证：三角形ABC为等边三角形． 16．（本小题满分14分）如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD， DE＝2AB，F为CD的中点． （1） 求证：AF∥平面BCE；（2） 求证：平面BCE⊥平面CDE． 17．（本小题满分15分）设等差数列的前项和为且． （1）求数列的通项公式及前项和公式； （2）设数列的通项公式为，问: 是否存在正整数t，使得 成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由. 18．（本小题满分15分）某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处， 已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个 变电站. 记P到三个村庄的距离之和为y. （1）设，把y表示成的函数关系式； （2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？ 19．（本小题满分16分）已知椭圆的离心率为，过右顶点A的直线l与椭圆C相交于A、B两点，且. （1）求椭圆C和直线l的方程； （2）记曲线C在直线l下方的部分与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．若 曲线与D有公共点，试求实数m的最小值． 20．（本小题满分16分） 已知二次函数g（x）对任意实数x都满足，且．令 ． （1）求 g(x)的表达式； （2）若使成立，求实数m的取值范围； （3）设，， 证明:对，恒有 附加题部分 21．【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修4—1　几何证明选讲 如图，AB是⊙O的直径，C、F为⊙O上的点，且CA平分∠BAF，过点C作CD⊥AF 交AF的延长线于点D. 求证：DC是⊙O的切线. 【证明】连结OC，所以∠OAC=∠OCA. 又因为CA平分∠BAF，所以∠OAC=∠FAC， 于是∠FAC=∠OCA，所以OC//AD. 又因为CD⊥AF，所以CD⊥OC， 故DC是⊙O的切线． ………………… 10分 B．选修4—2　矩阵与变换 变换T是绕坐标原点逆时针旋转的旋转变换，求曲线在变换T作用 下所得的曲线方程． 【解】变换T所对应变换矩阵为，设是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是，则，即，代入， 即， 所以变