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第二节 高斯消元法及其计算机实现 第三节 用矩阵分解法求解线性方程组 第四节 误差分析和解的精度改进 第五节 大型稀疏方程组的迭代法 第三章 线性代数方程组的数值解法 第一节 求解线性代数方程组的基本定理 第六节 极小化方法 线性代数方程组的一般形式 第一节 求解线性代数方程组的基本定理 MATLAB实现: x=A\b 数值求解方法有以下三条途径（三种框架） 直接法：利用Gauss消元或矩阵分解，通过有限次运算 可求出精确解。 迭代法：构造迭代格式，产生迭代序列，通过无限 次迭代过程求解。有限次截断得近似解。 极小化方法：构造二次模函数，用迭代过程求二次 模函数的极小化问题，即变分法（经n 次运算，理论上得精确解）要求A 对称正定(S.P.D) 第二节 高斯消元法及其计算机实现 A b U g 三角形方程组包括上三角形方程组和下三角形方程组，是最简单的线性方程组之一。上三角方程组的一般形式是： 一、三角形方程组的解法 为求解上三角方程组，从最后一个方程入手，先解出 xn=bn/ann, 然后按方程由后向前的顺序，从方程中依次解出xn-1,xn-2,…,x1。这样就完成了上三角方程组的求解过程。这个过程被称为回代过程其计算步骤如下： function X=backsub(A,b) %Input—A is an n×n upper- triangular nonsingullar matrix % ---b is an n×1 matrix %Output—X is the solution to the system AX=b 函数名 返回变量 参数表 n=length(b); X=zeros(n,1); X(n)=b(n)/A(n,n); for i=n-1:-1:1 X(i)=(b(i)-A(i,i+1:n)* X(i+1:n))/A(i,i); end A的第i行、第i+1到n列元素构成的行向量 高斯消元法是一个古老的直接法,由它改进得到的选主元法,是目前计算机上常用于求低阶稠密矩阵方程组的有效方法,其特点就是通过消元将一般线性方程组的求解问题转化为三角方程组的求解问题。 高斯消元法的求解过程,可大致分为两个阶段:首先,把原方程组化为上三角形方程组,称之为“消元”过程;然后,用逆次序逐一求出上三角方程组(原方程组的等价方程组)的解,称之为“回代”过程. 高斯“消元”过程可通过矩阵运算来实现。具体过程如下： 二、高斯消元法 解： 将方程组Ax=b的系数矩阵与右端项合并为 进行到第k步消元时 用回代过程求解上三角方程组，即可得解向量 ( x1*,x2*, …,xn* )T. 求解的全过程包括两个步骤：消元和回代 1 . 顺序消元 2 . 回代求解 消元过程全部完成后，原来的二维数组中存放的元素实际上是一个新的矩阵，记为 function X=gauss(A,b) %Input—A is an n×n nonsingullar matrix % ---b is an n×1 matrix %Output—X is the solution to the system AX=b MATLAB For Gaussian Elimination [n n]=size(A); % 确定A的维数 X=zeros(n,1); for k=1:n-1 for i=k+1:n % 消元过程 m=A(i,k)/ A(k,k); % A(k,k) ≠0 A(i,k+1:n)= A(i,k+1:n)-m*A(k,k+1:n); b(i)= b(i)-m*b(k); end end X=backsub(A, b); %回代求解 function X=gauss(A,b) %Input—A is an n×n nonsingullar matrix % ---b is an n×1 matrix %Output—X is the solution to the syst