第二節、二重积分的性质.pptVIP

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第二節、二重积分的性质

第二节、二重积分的性质 假设以下各积分存在 性质1 k为常数 性质2 性质3 (可加性) (除分界线) 性质4 如果 性质5 (不等式性) 如果在D上 特别的: 性质6 (估值性) 设 性质7 (积分中值定理) 设f(x,y)在闭区域D 上连续, 则至少存在一点 证明: 由闭区域连续函数的介值定理,至少存在一点 三、举例 例2、 设区域D: 是变量y的奇函数 X Y O 解: 是变量x的偶函数 注:上述性质,称为二重积分的奇偶对称性对 于一般函数也成立 例3、 估计下列积分值 (2)求D上的最大最小值 X Y o D 解: Ep4: 其中D由x=0,y=0及x+y=1围成 解: Ep5: 解: 第二节 二重积分的计算方法(1) 一、区域的类型及表示 1、X-型区域:穿过区域D的内部且平行于 D的 边界相交至多两点 a a a x x x b b b x x x y y y o o o 2、Y-型区域:穿过区域D的内部且平行于x轴的 直线与D的边界相交至多两点 3、其它类型 如图 非X-型,非Y-型区域 x y y c d o o x y 例1、闭区域D由 所围成,使用联立不等式表示区域D 解:法一、D是X型区域 则 法二、D是Y-型区域且 二、利用直角坐标计算二重积分 解:一方面: ——曲顶柱体的体积 另一方面:利用平行截面为已知的立体体积计算 设:区域D为X-型 得截面面积 一般的 综上: 类似的,若D为Y-型区域 ——称为先x后y的二次积分 情形仍成立 关键,步骤如下: 第一步:画区域D的图形 第二步:确定类型,求投影曲间,穿入、穿出 线方程,并用联立不等式表示区域 第三步:将二重积分写成二次积分 例2、计算 其中区域D是由 解:画图 求出交点(-1,1) 及(4,2) (4,2) (-1,1) 法一 D是X-型区域,且 法二 D是Y-型区域,且 (4,2) (-1,1) 例3、计算 ,其中D由 所围成 解:D是X-型区域 又 D是Y-型区域 无法积分 这说明此积分先x后y的顺序的方法失效 注:上述两例说明,在化二重积分为二次积分 时,为了计算简便,需要恰当的选择二次积分 的顺序。这时,既要考虑积分区域D的形状,又 要考虑被积函数f(x,y)的特性。 例4、改变二次积分 的积分次序 均为X-型,画出区域D如图 视 为Y-型区域 解: 则原式= 例5、计算由曲面 所围立体的体积 解:立体如图, 且在xoy面上投影区域 第二节 二重积分的计算方法(2) 三、利用极坐标计算二重积分 对于某些二重积分,利用直角坐标计算往往 是很困难的,而在极坐标系下计算则比较简单。 如:积分区域为圆形,被积函数为 时, 可考虑极坐标系下计算。 方法如下 1、化 为极坐标系下的二重积分, 由定义 且将区域D 放在极坐标系中 第一步 分割:用两族曲线 r=常数——同心圆 =常数——射线 任意分割区域D为n个小区域 除含边界的小区域外,其它小闭区域面积 第二步 取 且对应的直角坐标系为 则 从而 其中 为极坐标系下的面积元素 注: 相当于二重积分作了变量代换,因而换元就要 换限 2、 化为二次积分 情形(1)极点在D的外部 情形(2)极点在D的边界上 D 情形(3)极点在D内 D 例1:计算 D是由曲线 解: 例2、将 化为极坐标系下的 二次积分 解: 在极坐标系下 例3、求球体 被圆柱面 所截得的(含在圆柱面内部的) 立体的体积。 解:由对称性 体积 在极坐标系下 故

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