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第五章 導数和微分

第五章 导数和微分 §1 导数的概念 §2 求导法则 §3 参变量函数的导数 §4 高阶导数 §5 微分 §1 导数的概念 一 问题的提出 1.直线运动的速度问题 如图, 取极限得 瞬时速度 2.切线问题 切线:割线的极限 M T N 2.切线问题 切线:割线的极限 M T N 2.切线问题 切线:割线的极限 M T N 2.切线问题 切线:割线的极限 M T N 2.切线问题 切线:割线的极限 M T N 2.切线问题 切线:割线的极限 M T N 2.切线问题 切线:割线的极限 M T N 2.切线问题 切线:割线的极限 M T N 2.切线问题 切线:割线的极限 M T N 2.切线问题 切线:割线的极限 M T N 割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 二 导数的定义 1.定义 导数定义其它常见形式: 即 1) 注1 2. 导函数 很明显 2) 3) 右导数: 3. 单侧导数 左导数: 判断函数在某一点可导的充分必要条件: 例 解 不可导点 三 由定义求导数举例 步骤: 例1 解 例2 解 更一般地 例如, 例3 解 四 导数的意义 1. 几何意义 切线方程为 法线方程为 2. 导数几何意义的应用 1、根据导数的几何意义,可以得到曲线 在定点 处的切线方程为: 2、如果 ,则法线的斜率为 ,从而点 处法线方程为: 例4 求曲线 在点(4,2)处的切线方程和法线方程。 解: (1)函数 在x=2处的导数: (2)所求切线的斜率 即 (4)法线的斜率 ,故所求的法线方程为: 即 (3)由直线的点斜式方程可得曲线的切线方程为: 例5 曲线 上哪些点处的切线与直线 平行? 解:由导数的几何意义可知,曲线 在点 处的 切线的斜率为: 而直线 的斜率为 解此方程,得 将 代入曲线方程 ,得 。 根据两直线平行的条件有 所以,曲线 在点 处的切线与直线 平行。 例6 解 根据导数的几何意义, 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为 3. 简单的物理意义 1)变速直线运动中路程对时间的导数为物体的瞬时速度. 2)交流电路中电量对时间的导数为电流强度. 3)非均匀物体中质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度. 五 可导与连续的关系 结论: 可导的函数一定是连续的。 证 比如 解 注意: 反之不成立.即连续不一定可导。 六 小结 1. 导数的概念与实质: 增量比的极限; 3. 导数的几何意义与物理意义: 5. 函数可导一定连续,但连续不一定可导; 4. 由定义求导数.

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