第五章 樹和二叉树.pptVIP

第五章 树和二叉树 5.1 基本知识 5.2 二叉树的遍历 5.3 二叉树的应用 树是一类重要的非线性数据结构，是以分支关系定义的层次结构 1 树的定义 定义：树(tree)是n(n0)个结点的有限集T，其中： 有且仅有一个特定的结点，称为树的根(root) 当n1时，其余结点可分为m(m0)个互不相交的有限集T1,T2,……Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，称为根的子树(subtree) 特点： 树中至少有一个结点——根 树中各子树是互不相交的集合 5.1 基本知识 根 子树 基本术语 结点(node)——表示树中的元素，包括数据项及若干指向其子树的分支 结点的度(degree)——结点拥有的子树数 叶子(leaf)——度为0的结点 孩子(child)——结点子树的根称为该结点的孩子 双亲(parents)——孩子结点的上层结点叫该结点的双亲 兄弟(sibling)——同一双亲的孩子 树的度——一棵树中最大的结点度数 结点的层次(level)——从根结点算起，根为第一层，它的孩子为第二层…… 深度(depth)——树中结点的最大层次数 森林(forest)——m(m?0)棵互不相交的树的集合 结点A的度：3 结点B的度：2 结点M的度：0 叶子：K，L，F，G，M，I，J 结点A的孩子：B，C，D 结点B的孩子：E，F 结点I的双亲：D 结点L的双亲：E 结点B，C，D为兄弟 结点K，L为兄弟 树的度：3 结点A的层次：1 结点M的层次：4 树的深度：4 结点F，G为堂兄弟 结点A是结点F，G的祖先 2 二叉树 定义：二叉树是n(n?0)个结点的有限集，它或为空树(n=0)，或由一个根结点和两棵分别称为左子树和右子树的互不相交的二叉树构成 特点 每个结点至多有二棵子树(即不存在度大于2的结点) 二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能任意颠倒 基本形态 二叉树性质 性质1：在二叉树的第i层上至多有 2i –1个结点(i?1) 性质2：深度为k的二叉树至多有 2k - 1 个结点(k?1) 性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1 证明：n1为二叉树T中度为1的结点数,因为二叉树中所有结点的度均小于或等于2,所以其结点总数n=n0+n1+n2,又二叉树中，除根结点外，其余结点都只有一个分支进入,设B为分支总数，则n=B+1 又：分支由度为1和度为2的结点射出，B=n1+2n2 于是，n=B+1=n1+2n2+1=n0+n1+n2 ?n0=n2+1 几种特殊形式的二叉树 满二叉树 深度为k有 2k - 1 个结点的二叉树 特点：每一层上的结点数都是最大结点数 完全二叉树 深度为k，有n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称为完全二叉树 特点 叶子结点只可能在层次最大的两层上出现 对任一结点，若其右分支下子孙的最大层次为l，则其左分支下子孙的最大层次必为l 或l+1 3 树的存储结构 树的存储结构 双亲表示法 实现：定义结构数组存放树的结点，每个结点含两个域： 数据域：存放结点本身信息 双亲域：指示本结点的双亲结点在数组中位置 特点：找双亲容易，找孩子难 typedef struct node { datatype data; int parent; }JD; JD t[M]; 0 1 2 2 3 5 5 5 1 0号单元不用或 存结点个数 如何找孩子结点 二叉树的存储结构 1 顺序存储结构 实现：按满二叉树的结点层次编号，依次存放二叉树中的数据元素 特点：结点间关系蕴含在其存储位置中 浪费空间，适于存满二叉树和完全二叉树 2 链式存储结构 二叉链表 typedef struct node { datatype data; struct node *lchild, *rchild; }JD; 在n个结点的二叉链表中，有n+1个空指针域 三叉链表 typedef struct node { datatype data; struct node *lchild, *rchild, *parent; }JD; ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ 将树转换成二叉树 加线：在兄弟之间加一连线 抹线：对每个结点，除了其左孩子外，去除其与其余孩子之间的关系 旋转：以树的根结点为轴心，将整树顺时针转45° 树转换成的二叉树其右子树一定为空 将二叉树转换成树 加线：若p结点是双亲结点的左孩子，则将p的右孩子，右孩子的右孩子，……沿分支找到的所有右孩子，都与p的双亲