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江苏省常州市田家炳实验中学2012届高三寒假学习情况调研(数学)
常州市田家炳实验中学寒假学习情况调研2012.2.
高三年级数学学科
一、填空题
1、复数的虚部为 .
2、一个社会调查机构就某地居民的月收入情况调查了1000人,并根据所得数据绘制了样本频率分布直方图(如图所示),则月收入在[2000,3500范围内的人数为 3、根据如图所示的伪代码,可知输出S的值为
图2 图3
4、若等差数列的前5项和,且,则 .
5、设为两条不同的直线,为两个不同的平面,下列命题中正确的是 .(填序号)
①若则;
②若则;
③若则;
④若则.
6、在中,已知,若 分别是角所对的边,则的最大值为__________.
7、已知偶函数在上为减函数, 且,则不等式的解集为__________.
8、已知点O为的外心,且,则__________.
9、如图,已知是椭圆 的
左、右焦点,点在椭圆上,线段与圆
相切于点,且点为线段的中点,则椭圆的离心率为 .
10、先后掷两次正方体骰子(骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6),骰子朝上的面的点数分别为,则是奇数的概率是 .
11、记,已知函数是偶函数(为实常数),则函数的零点为__________.(写出所有零点)
12、在中,若,则面积的最大值为 .
13、设为正整数,两直线的交点是,对于
正整数,过点的直线与直线的交点记为.则数列通
项公式= .
14、如图,已知矩形ORTM内有5个全等的小正方形,其中顶点A、B、C、D在矩形ORTM的四条边上.若矩形ORTM的边长OR=7,OM=8,则小正方形的边长为
二、解答题
15、(本小题共14分)
已知动点在角的终边上.
(1)若,求实数的值;
(2)记,试用将S表示出来.
16、(本小题共14分)
四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且,侧面PAD是正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD,点G为AD的中点.
(1)求证:BG面PAD;
(2)E是BC的中点,在PC上求一点F,使得PG面DEF.
17、(本小题共14分)
为迎接2010年上海世博会,要设计如图的一张矩形广告,该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目,这三栏的面积之和为,四周空白的宽度为,栏与栏之间的中缝空白的宽度为,怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位:),能使整个矩形广告面积最小.
18、(本小题共16分)
已知椭圆的中心为坐标原点O,椭圆短半轴长为1,动点 在直线上.
(1)求椭圆的标准方程
(2)求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程;
(3)设F是椭圆的右焦点,过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N.求证:线段ON的长为定值,并求出这个定值.
19、(本小题共16分)
已知数列,满足,,数列的前项和为,.
(Ⅰ)求证:数列为等差数列,并求通项; (Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)求证:当时,.
20、(本小题共16分)
已知.
(1)若函数在区间上有极值,求实数的取值范围;
(2)若关于的方程有实数解,求实数的取值范围;
(3)当,时,求证:.
常州市田家炳实验中学寒假学习情况调研2012.2.
高三年级数学学科附加题
21、A. 选修4——1:几何证明选讲
如图,D为△ABC的BC边上的一点,⊙O1经过点B、D,交AB于另一点E,⊙O2经过点C、D,交AC于另一点F,⊙O1、⊙O2交于点G.求证:
(1) ∠BAC+∠EGF=180°;
(2) ∠EAG=∠EFG.
21、B.选修4-2 矩阵与变换
已知矩阵M=1 22 x)的一个特征值为3,求另一个特征值及其对应的一个特征向量.
21、C.选修4-4 坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴的正半轴重合,曲线C1:与曲线C2:(t∈R)交于A、B两点.求证:OA⊥OB.
21、D. 选修4——5:不等式选讲
已知x、y均为正数,且xy,求证:2x+1x2-2xy+y2≥2y+3.
22、【必做题】
已知抛物线的焦点为,直线过点.
(1)若点到直线的距离为,求直线的斜率;
(2)设为抛物线上两点,且不与轴垂直,若线段的垂直平分线恰过点,求证:线段中点的横坐标为定值.
23、【必做题】
已知从“神八”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为,某植物研究所进行
该种子的发芽实验,每次实验种一料种子,每次实验结果相互独立。假定某次实验种子
发芽则称该次实验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次实验是
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