2010—2012高考数学分类汇总之数列(含答案).doc

数 列 二、大题 46、（12江苏）已知各项均为正数的两个数列和满足：． （1）设，求证：数列是等差数列； （2）设，且是等比数列，求和的值． 解：（1）∵ （2）∵， ∴ ∴ ∵是各项都为正数的等比数列 ∴设其公比为，则 ①当时， ∵ ∴数列是单调递增的数列，必定存在一个自然数，使得 ②当时 ∵ ∴数列是单调递减的数列，必定存在一个自然数，使得 由①②得： ∴ ∵ 得：，且 ∴ ∵ ∴数列是公比为的等比数列 ∵ ∴ ①当时, 数列是单调递增的数列，这与矛盾 ②当时, 数列是常数数列，符合题意 ∴ ∴ ∴ 47、（12安徽）数列满足： （I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是 （II）求的取值范围，使数列是单调递增数列。 解：（I）必要条件：当时，数列是单调递减数列 充分条件：数列是单调递减数列 得：数列是单调递减数列的充分必要条件是 （II）由（I）得： ①当时，，不合题意 ②当时， 当时，与同号， 由 当时，存在，使与异号 与数列是单调递减数列矛盾 得：当时，数列是单调递增数列 48、（12广东）设数列的前n项和为，满足且成等差数列。(1)求的值；(2)求数列的通项公式；(3)证明：对一切正整数,有 解：（1）在中，令得： 令得： 解得：， 又 解得 （2）由及得 又也满足，所以成立。 ∴ ∴ ∴ （3）（法一）∵ ∴ ∴ （法二）∵ ∴ 当时， ……… 累乘得： ∴ 49、（12全国）函数，定义数列如下：是过两点,的直线与轴交点的横坐标。 （Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求数列的通项公式。 50、（12江西）已知数列的前项和（其中），且的最大值为。 （1）确定常数，并求；（2）求数列的前项和。 51、（12湖南）已知数列的各项均为正数，记，，， （Ⅰ）若，且对任意，三个数组成等差数列，求数列 的通项公式. （Ⅱ）证明：数列是公比为的等比数列的充分必要条件是：对任意，三个数组成公比为的等比数列。 解：（Ⅰ）对任意,三个数是等差数列，所以 　　　　　　　　　　　　 即亦即 故数列是首项为１，公差为４的等差数列.于是 （Ⅱ）（１）必要性：若数列是公比为ｑ的等比数列，则对任意，有 由知，均大于０，于是 　　　　 　　　　 即＝＝，所以三个数组成公比为的等比数列. （２）充分性：若对于任意，三个数组成公比为的等比数列，则 　　 　， 于是得即 由有即，从而. 因为，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列， 综上所述，数列是公比为的等比数列的充分必要条件是： 对任意n∈N﹡，三个数组成公比为的等比数列. 52、（12湖北）已知等差数列前三项的和为，前三项的积为。 （1）求等差数列的通项公式； （2）若成等比数列，求数列的前n项和。 53、（12陕西）设是公比不为1的等比数列,其前项和为，且,,成等差数列。 (Ⅰ)求数列的公比；（Ⅱ）证明：对任意，，，成等差数列. 解：（1）设数列的公比为（）。 由成等差数列，得，即。 由得，解得，（舍去），所以。 （2）证法一：对任意， ， 所以，对任意，成等差数列。 证法二：对任意，， ， ， 因此，对任意，成等差数列。 54、（12重庆）设数列的前项和满足，其中。 （I）求证