2010年全国各地数学中考试题分类汇编2次函数.doc

第12课时 二次函数 基础知识回放 考点1 二次函数的解析式 1．二次函数的定义 形如=ax2+bx+c (a≠0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数．特别当a≠0，b=c=0时，y=ax2是二次函数的特例。 规律总结：判断一个函数是不是二次函数的方法与步骤：① 先将函数进行整理，使其右边是含自变量的式子，左边是因变量；② 判断右边的自变量是否是整式；③ 判断含自变量的最高项次数是否为2；④ 判断二次项系数是否为0。 2．二次函数的解析式 (1)一般式：y=ax2+bx+c (a≠0，a、b、c为常数)； (2)顶点式：y=a(x－h)2+k(a≠O，a、k、h为常数，其中h，k分别为顶点的横坐标、纵坐标)； (3)交点式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0，a、x1、x2为常数)；其中x1、x2为抛物线与x轴的交点横坐标。 (4)顶点式一般式交点式． 温馨提示：对于一般式，只要试题中出现3个已知条件就能求出二次函数的解析式，但是对于顶点式、交点式要根据实际操作中来确定不同的解析式。如果题目中出现或隐含着抛物线的顶点坐标一般采用顶点式；如果出现抛物线与x轴的交点坐标宜采用交点式。所以在求解析式中要依据三种解析式各自的优点，合理选择，才能使解析过程简捷明了． 考点2 二次函数的图象及其性质 1．二次函数的图象是一条① ． 2．求二次函数y=ax2+bx+c (a≠0，a、b、c为常数)最大值或最小值的一般方法： ⑴ 配方法：y=ax2+bx+c=a（x2+bax）+c= a（x2+bax+ ② ）－a· ③ +c= = a（x2+bax+ ④ ）+ ⑤ = a（x+ ⑥ ）2+ ⑦ 所以当x= ⑧ 时，y最值= ⑨ 。 ⑵ 公式法：当x= ⑩ 时，y最值=11。 3．二次函数y=ax2+bx+c (a≠0，a、b、c为常数)通过配方可得y=a(x－h)2+k(a≠O，a、k、h为常数)，其顶点坐标为12，对称轴方程为直线x=13． 4．当a0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸；在对称轴左侧(即x－b2a)时，y随x的增大而14；在对称轴右侧(即x－b2a)时，y随x的增大而15；当x=－b2a时，函数有极小值y =4ac-b24a；当a0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸；在对称轴左侧(即x －b2a)时，y随x的增大而16 ；在对称轴右侧(即x －b2a)时，y随x的增大而 17 ；当x= －b2a是时，函数有极大值y =4ac-b24a. 5．对称轴：x=18，对称轴在原点左侧a，b同号；对称轴在原点右侧a，b异号；对称轴与y轴重合b=0． 6．顶点坐标M(－b2a， 4ac-b24a)，点M在x轴上方a,△异号；点M在x轴上方a,△同号；点M在x轴上△=0．（其中△=b2－4ac） 7．抛物线与M轴的交点：抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点(0，c)；若方程ax2+bx+c=0有根x1，x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(x1，，0)(x2，0)． 8．抛物线y=ax2+bx+c中a，b，c的作用． (1)a决定开口方向及开口大小．a0，抛物线开口向上；a190，抛物线开口20，|a|越大，抛物线的开口越21 ，|a|越小，抛物线的开口越22. (2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置．由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=－b2a，故：b=0时，对称轴为y轴；ba0时，对称轴在y轴左侧；ba0时，对称轴在y轴右侧． (3)c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置，当x=0时，y=c，所以抛物线与y轴有且只有一个交点(O，c)．c=0，抛物线经过原点；c0，抛物线与y轴交于正半轴；c0，抛物线与y交于负半轴． 温馨提示：以上三点中，当结论与条件互换时，仍成立． (4)抛物线y=ax2+bx+c与x轴是否有交点由a，b，c联合决定．当△=b2－4acO时，抛物线与x轴有两个交点；当△= b2－4ac =0时，抛物线与x轴有一个交点；当△= b2－4ac0时，抛物线与x轴无交点． 温馨提示：画抛物线时点取的越多图象越精确，但一般采用五点法作抛物线．①找顶点(－b2a,4ac-b24a)，画对称轴；②找图象上关于直线x= －b2a对称的四个点(一般找与坐标轴的交点及y=c的点)；③把上述五个点用光滑的曲线连接起来． 9．二次函数的图象与性质附图如下： 函数的图象 图象特点 函数性质 ①当aO时向上无限伸展； 当aO时向下无限伸展． ①自变量x的取值范围是全体实数． ②aO时开口向上； aO时开口向下； 顶点为(－,)． ②