江苏省扬州市2012届高三上学期期末考试数学试卷.doc

扬州市2012届第一学期期末高三数学检测试题2012．01 第一部分 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．已知集合，则＝ ． 2．复数的实部为 ． 3．已知且，则＝ ． 4．执行右边的流程图，得到的结果是 ． 5．已知满足不等式组则的最大值是 ． 6．为了解某校男生体重情况，将样本数据整理后，画出其频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第3小组的频数为12，则样本容量是 ． 7．设为两条不同的直线，为两个不同的平面，下列命题中正确的是 ．（填序号） ①若则； ②若则； ③若则； ④若则． 8．设直线和圆相交于A，B两点，则弦AB的垂直平分线方程是 ． 9．先后掷两次正方体骰子（骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为，则是奇数的概率是 ． 10．已知等比数列中，公比，且，则 ． 11．在边长为6的等边△ABC中，点M满足，则等于 ． 12．已知椭圆过点P（3，1），其左、右焦点分别为，且，则椭圆E的离心率是 ． 13．若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 14．已知，且，则的最大值是 ． 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分） 已知． （I）求在上的最小值； （II）已知分别为△ABC内角A、B、C的对边，，且，求边的长． 16．（本小题满分14分） 如图，在三棱柱中，底面△ABC是等边三角形，D为AB中点． （I）求证：平面； （II）若四边形是矩形，且，求证：三棱柱是正三棱柱． 17．（本小题满分15分） 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离的关系为：，若距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设为建造宿舍与修路费用之和． （I）求的表达式； （II）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用最小，并求最小值． 18．（本小题满分15分） 如图，正方形ABCD内接于椭圆，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ的顶点M，N在椭圆上，顶点P，Q在正方形的边AB上，且A，M都在第一象限． （I）若正方形ABCD的边长为4，且与轴交于E，F两点，正方形MNPQ的边长为2． ①求证：直线AM与△ABE的外接圆相切； ②求椭圆的标准方程． （II）设椭圆的离心率为，直线AM的斜率为，求证：是定值． 19．（本小题满分16分） 已知函数． （I）求函数的单调递减区间； （II）若在上恒成立，求实数的取值范围； （III）过点作函数图像的切线，求切线方程． 20．（本小题满分16分） 设数列满足． （I）若，求的值； （II）求证数列是等差数列； （III）设数列满足：，且，若存在实数，对任意都有成立，试求的最小值． 第二部分（加试部分） 21．选修4－2：矩阵与变换（本小题满分10分） 求矩阵的特征值和特征向量． 22．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 已知是椭圆上的点，求的取值范围． 23．（本小题满分10分） 口袋中有3个白球，4个红球，每次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，如果取到白球，就停止取球，记取球的次数为． （I）若取到红球再放回，求不大于2的概率； （II）若取出的红球不放回，求的概率分布与数学期望． 24．（本小题满分10分） 已知是给定的某个正整数，数列满足：，其中． （I）设，求； （II）求． 扬州市2011—2012学年度第一学期期末调研测试试题 高 三 数 学 参 考 答 案 第一部分 一、填空题： 1. 2．1 3. 4. 5. 8 6. 32 7. ②④ 8. 9. 10. 4 11. 24 12. 13. 14. 二、解答题： 15.（Ⅰ）4分