2011届高3数学毕业班课本知识点整理归纳之7.doc

2010-2011年高三毕业班数学课本知识点整理归纳之七 第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长，为半周长。 1．正弦定理：=2R（R为△ABC外接圆半径）。 推论1：△ABC的面积为S△ABC= 推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a. 推论3：在△ABC中，A+B=，解a满足，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以S△ABC=；再证推论2，因为B+C=-A，所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论3，由正弦定理，所以，即sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于[cos(-A+a)-cos(-A-a)]= [cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0-A+a，-a+A. 所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得证。 2．余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，下面用余弦定理证明几个常用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD2= （1） 【证明】 因为c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos， 所以c2=AD2+p2-2AD·pcos ① 同理b2=AD2+q2-2AD·qcos， ② 因为ADB+ADC=， 所以cosADB+cosADC=0， 所以q×①+p×②得 qc2+pb2=(p+q)AD2+pq(p+q)，即AD2= 注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式 （2）海伦公式：因为b2c2sin2A=b2c2 (1-cos2A)= b2c2 [(b+c)-a2][a2-(b-c) 2]=p(p-a)(p-b)(p-c). 这里 所以S△ABC= 二、方法与例题 1．面积法。 例1 （共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足，另外OP，OQ，OR的长分别为u, w, v，这里α，β，α+β∈(0, )，则P，Q，R的共线的充要条件是 【证明】P，Q，R共线 (α+β)=uwsinα+vwsinβ ，得证。 2．正弦定理的应用。 例2 如图所示，△ABC内有一点P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。 求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。 【证明】 过点P作PDBC，PEAC，PFAB，垂足分别为D，E，F，则P，D，C，E；P，E，A，F；P，D，B，F三组四点共圆，所以EDF=PDE+PDF=PCA+PBA=BPC-BAC。由题设及BPC+CPA+APB=3600可得BAC+CBA+ACB=1800。 所以BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB=600。 所以EDF=600，同理DEF=600，所以△DEF是正三角形。 所以DE=EF=DF，由正弦定理，CDsinACB=APsinBAC=BPsinABC，两边同时乘以△ABC的外接圆直径2R，得CP·BA=AP·BC=BP·AC，得证： 例3 如图所示，△ABC的各边分别与两圆⊙O1，⊙O2相切，直线GF与DE交于P，求证：PABC。 【证明】 延长PA交GD于M， 因为O1GBC，O2DBC，所以只需证 由正弦定理， 所以 另一方面，， 所以， 所以，所以PA//O1G， 即PABC，得证。 3．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x, y, z，则a=y+z, b=z+x, c=x+y. 例4 在△ABC中，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 【证明】 令a=y+z, b=z+x, c=x+y，则 abc=(x+y)(y+z)(z+x) =8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c) =a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc. 所以a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 4．三角换元。 例5 设a, b, c∈R+，且abc+a+c=b，试求的最大值。 【解】 由题设，令a=tanα, c=tanγ, b=tanβ, 则tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cos2γ≤， 当且仅当α+β=，sinγ=，即a=时，Pmax= 例6 在△ABC中，若a+b+c=1，求证: a2+b2+c2+4abc 【证明】 设a=sin2αcos2β, b=cos2αcos2β, c=sin2β,