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平均數、标准差与变异系数

平均数、标准差与变异系数 第一节 平均数 平均数是统计学中最常用的统计量,用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数主要包括有: 算术平均数(arithmetic mean) 中位数(median) 众数(mode) 几何平均数(geometric mean) 调和平均数(harmonic mean) 一、算术平均数 算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商,简称平均数或均数,记为。 算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。 (一)直接法 主要用于样本含量n≤30以下、未经分组资料平均数的计算。 设某一资料包含n个观测值: x1、x2、…、xn, 则样本平均数可通过下式计算: 其中,Σ为总和符号; 表示从第一个观测值x1累加到第n个观测值xn。当 在意义上已明确时,可简写为Σx,(3-1)式可改写为: 【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490(kg),求其平均数。 由于 Σx=500+520+535+560+58 +600+480+510+505+49 =5285, n=10 得: 即10头种公牛平均体重为528.5 kg。 (二)加权法 对于样本含量 n≥30 以上且已分组的资料,可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数,计算公式为: 式中: —第i组的组中值; —第i组的次数; —分组数 第i组的次数fi是权衡第i组组中值xi在资料中所占比重大小的数量,因此将fi 称为是xi的“权”,加权法也由此而得名。 【例3.2】 将100头长白母猪的仔猪一月窝重(单位:kg)资料整理成次数分布表如下,求其加权数平均数。 表3—1 100头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表 利用(3—2)式得: 即这100头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为45.2kg。 计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时,如果样本含量不等,也应采用加权法计算。 【例3.3】 某牛群有黑白花奶牛 1500头,其平均体重为750 kg ,而另一牛群有黑白花奶牛1200头,平均体重为725 kg,如果将这两个牛群混合在一起,其混合后平均体重为多少? 此例两个牛群所包含的牛的头数不等,要计算两个牛群混合后的平均体重,应以两个牛群牛的头数为权,求两个牛群平均体重的加权平均数,即 即两个牛群混合后平均体重为738.89 kg。 (三)平均数的基本性质 1、样本各观测值与平均数之差的和为零,即离均差之和等于零。 或简写成 2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小,即离均差平方和为最小。 (xi- )2 (xi- a)2 (常数a≠ ) 或简写为: 对于总体而言,通常用μ表示总体平均数,有限总体的平均数为: 式中,N表示总体所包含的个体数。

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