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平均數、标准差与变异系数
平均数、标准差与变异系数
第一节 平均数
平均数是统计学中最常用的统计量,用来表明资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数主要包括有:
算术平均数(arithmetic mean)
中位数(median)
众数(mode)
几何平均数(geometric mean)
调和平均数(harmonic mean)
一、算术平均数
算术平均数是指资料中各观测值的总和除以观测值个数所得的商,简称平均数或均数,记为。
算术平均数可根据样本大小及分组情况而采用直接法或加权法计算。
(一)直接法
主要用于样本含量n≤30以下、未经分组资料平均数的计算。
设某一资料包含n个观测值: x1、x2、…、xn,
则样本平均数可通过下式计算:
其中,Σ为总和符号; 表示从第一个观测值x1累加到第n个观测值xn。当 在意义上已明确时,可简写为Σx,(3-1)式可改写为:
【例3.1】 某种公牛站测得10头成年公牛的体重分别为500、520、535、560、585、600、480、510、505、490(kg),求其平均数。
由于 Σx=500+520+535+560+58
+600+480+510+505+49
=5285,
n=10
得:
即10头种公牛平均体重为528.5 kg。
(二)加权法
对于样本含量 n≥30 以上且已分组的资料,可以在次数分布表的基础上采用加权法计算平均数,计算公式为:
式中: —第i组的组中值;
—第i组的次数;
—分组数
第i组的次数fi是权衡第i组组中值xi在资料中所占比重大小的数量,因此将fi 称为是xi的“权”,加权法也由此而得名。
【例3.2】 将100头长白母猪的仔猪一月窝重(单位:kg)资料整理成次数分布表如下,求其加权数平均数。
表3—1 100头长白母猪仔猪一月窝重次数分布表
利用(3—2)式得:
即这100头长白母猪仔猪一月龄平均窝重为45.2kg。
计算若干个来自同一总体的样本平均数的平均数时,如果样本含量不等,也应采用加权法计算。
【例3.3】 某牛群有黑白花奶牛 1500头,其平均体重为750 kg ,而另一牛群有黑白花奶牛1200头,平均体重为725 kg,如果将这两个牛群混合在一起,其混合后平均体重为多少?
此例两个牛群所包含的牛的头数不等,要计算两个牛群混合后的平均体重,应以两个牛群牛的头数为权,求两个牛群平均体重的加权平均数,即
即两个牛群混合后平均体重为738.89 kg。
(三)平均数的基本性质
1、样本各观测值与平均数之差的和为零,即离均差之和等于零。
或简写成
2、样本各观测值与平均数之差的平方和为最小,即离均差平方和为最小。
(xi- )2 (xi- a)2 (常数a≠ )
或简写为:
对于总体而言,通常用μ表示总体平均数,有限总体的平均数为:
式中,N表示总体所包含的个体数。
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