2011年高考试题分类考点24数列求及及综合应用.doc

考点24 数列求和及综合应用 一、选择题 1.（2011·江西高考理科·Ｔ5） 已知数列?{}的前项和满足：+=，且=1，那么=( ) （A）1 (B)9 （C）10 (D)55 【思路点拨】 【精讲精析】选A. 2.（2011·安徽高考文科·Ｔ7）若数列的通项公式是n=(-1)n(3-2),则…( ) （A）15 (B)12 （C）12 (D) 15 【思路点拨】观察数列的性质，得到 【精讲精析】选A. 故 二、填空题 3.（2011·江苏高考·Ｔ13）设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是________. 【思路点拨】本题考查的是等差数列与等比数列的综合问题，解题的关键是找出等差数列与等比数列的结合点，从而找到q满足的关系式，求得其最小值. 【精讲精析】由题意：，，，而的最小值分别为1，2，3；. 【答案】 4.（2011·浙江高考文科·Ｔ17）若数列中的最大项是第项，则=_______________. 【思路点拨】可由不等式组解得. 【精讲精析】设最大项为第项，则由不等式组得,即,解得,故. 【答案】4 三、解答题 5.（2011·安徽高考理科·Ｔ18）在数1和100之间插入个实数，使得这+2个数构成递增的等比数列，将这+2个数的乘积记作，令， （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设求数列的前项和. 【思路点拨】本题将数列问题和三角函数问题结合在一起，解决此题需利用等比数列通项公式，等差数列前n项和公式，及两角差的正切公式等基本知识. 【精讲精析】（Ⅰ）设这+2个数构成的等比数列为，则，则 ，，又 所以 （Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知 另一方面，利用 得 所以 6.（2011·江苏高考·Ｔ20）设M为部分正整数组成的集合，数列的首项，前n项和为，已知对任意整数kM，当整数nk时，都成立. （1）设M=｛1｝，，求的值； （2）设M=｛3，4｝，求数列的通项公式. 【思路点拨】本题考查的是等差数列概念、前n项和与通项关系，其中（1）问较为容易，（2）问解决的关键是抓住题目的的转化从中找到解决问题的规律. 【精讲精析】(1)由题设知，当时， 即，从而，又， 故当时，，所以的值为8. (2) 由题设知, 当,且时， 且， 两式相减得，即，所以当时，成等差数列，且也成等差数列， 从而当时， ， 且. 所以当时，，即，于是， 当时，成等差数列， 从而，故由式知，即，当时，设，当时，， 从而由式知，故， 从而，于是. 因此，对任意都成立. 又由（可知， 故且.解得，从而，. 因此，数列为等差数列，由知， 所以数列的通项公式为. 7.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ17）等比数列的各项均为正数，且 （Ⅰ)求数列的通项公式； （Ⅱ）设 求数列的前n项和. 【思路点拨】第（Ⅰ）问可由，联立方程组求得和公比，从而求得的通项公式.第（Ⅱ）问中，需先利用对数的性质化简，再用裂项相消的方法求数列的前项和. 【精讲精析】（Ⅰ）设数列的公比为q，由得所以. 由条件可知,故.由得，所以. 故数列的通项公式为=. （Ⅱ?） . 故, . 所以数列的前n项和为. 8.（2011·新课标全国高考文科·Ｔ17）已知等比数列中，，公比. （1）为的前项和，证明：. （2）设，求数列{}的通项公式. 【思路点拨】第（1）问利用等比数列通项公式和求和公式求出，然后证明等式成立； （2）利用对数的性质化简，即得{}的通项公式. 【精讲精析】（1）， .（2） . 数列{}的通项公式为=. 9.（2011·广东文科·T20）设b0，数列}满足a1=b,. (1)求数列的通项公式； (2)证明：对于一切正整数n， b+1. 【思路点拨】（1）把题中条件变形为，构造成为，转化为等比数列，求得的通项公式，进而求出的通项公式. （2）利用均值不等式证明. 【精讲精析】（1）由已知得，当时，上式变形为：， 即数列是以为首项，以为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得：，解得； 当时，有，即{}是首项公差均为1的等差数列，则. 综上所述. （2）方法一：当 只需证 当b=1时，bn+1+1=2=2an, 综上所述 方法二：由（1）及题设知: 当时，+1=2=2； 当时，，而，， 即2，又，. 综上所述，对于一切正整数有. 10.（2011·广东高考理科·Ｔ20）设数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）证明：对于一切正整数n, . 【思路点拨】（1）把题中条件变形为，构造成为，转化为等比数列，求得的通项公式，进而求出的通项公式.或用猜想证明的方法解决.